Теоретические основы для выполнения умножения многочлена на одночлен — формулировка

Операция умножения многочлена на одночлен является основой для рассмотрения операции умножения многочлена на многочлен и нужно сначала научиться умножать многочлен на одночлен, чтобы разобраться в умножении многочленов.

Основой данной операции является распределительный закон умножения. Напомним его:

;

По существу, мы видим правило умножения многочлена, в данном случае двучлена, на одночлен и это правило можно сформулировать так: чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен. Сложить алгебраически полученные произведения, после чего произвести над многочленом необходимые действия – а именно привести его к стандартному виду.

Правило умножения многочлена на одночлен, решение примеров

Рассмотрим пример:

Комментарий: данный пример решается, точно следуя правилу: каждый член многочлена умножается на одночлен. Для того, чтобы хорошо понять и усвоить распределительный закон, в данном примере члены многочлена были заменены на х и у соответственно, а одночлен на с, после этого выполнено элементарное действие в соответствии с распределительным законом и выполнена подстановка исходных значений. Следует быть внимательными со знаками и правильно выполнить умножение на минус единицу.

Рассмотрим пример умножения трехчлена на одночлен и убедимся, что оно ничем не отличается от такой же операции с двучленом:

Перейдем к решению примеров:

Пример 1:

Комментарий: данный пример решается согласно распределительному закону и аналогично предыдущему примеру — каждый член многочлена умножается на одночлен, полученный многочлен уже записан в стандартном виде, поэтому упростить его нельзя.

Пример 2 – выполнить действия и получить многочлен в стандартном виде:

;

Комментарий: для решения данного примера сначала произведем умножение для первого и второго двучленов согласно распределительному закону, после этого приведем полученный многочлен к стандартному виду — приведем подобные члены.

Теперь сформулируем основные задачи, связанные с операцией умножения многочлена на одночлен, и приведем примеры их решения.

Решение первой типовой задачи – на упрощение выражений

Задача1 – упростить выражение:

;

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, а именно вначале производится умножение многочленов на соответствующие одночлены, после этого приведение подобных.

Решение второй типовой задачи – вычислительной

Задача 2 – упростить и вычислить:

Пример 1:

;

;

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, с тем лишь дополнением, что после приведения подобных членов нужно вместо переменной подставить ее конкретное значение и вычислить значение многочлена. Напомним, чтобы легко умножить десятичную дробь на десять, нужно переместить запятую на один разряд вправо.

Пример 2: 

Найти значение многочлена при 

;

Решение третьей типовой задачи – уравнение

Задача 3 – решить уравнение:

Пример 1: ;

;

;

.

Комментарий: для решения данного уравнения упростим левую его часть: произведем умножение многочленов на соответствующие им одночлены, а свободный член перенесем в правую часть. После приведения подобных остается решить элементарное уравнение.

Пример 2: 

;

;

;

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему.

Формулировка типичных ошибок

Хотелось бы обратить внимание на типовые ошибки во избежание таковых в дальнейшем:

 – неверно! так как ;

 – неверно! так как ;

Вывод: в данном уроке была изучена операция умножения многочлена на одночлен и рассмотрены различные примеры. Кроме того, были сформулированы и решены основные типовые задачи, касающиеся данной операции.

Решения записать в тетрадь!

ФИО
Упростите выражение:


1) 25m + 5
2) 25m - 5
3) -25m - 5
4) -25m + 5

Упростите выражение:


1) -5ab2 – b2
2) 5ab – 6b2
3) 7ab + 6b2
4) -7ab + 6b2

Упростите выражение:


1) -5bc + 2b2
2) -2bc - 2b2
3) -2bc + 2b2
4) -5bc + 2b2

Упростите выражение:


1) 2 – у2
2) 2 – у
3) 2 + у
4) 2 + у2

Упростите выражение:


1) -7mn + 3m2 + 2n2
2) -7mn - 3m2 + 2n2
3) 7mn + 3m2 + 2n2
4) 7mn + 3m2 - 2n2