Давайте вспомним, что по величине углов выделяют остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники. А также отметим, что сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.

Сумма углов любого треугольника равна 180 градусов.

Теорема:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

1. Докажем, что против большей стороны лежит больший угол.

Возьмём некоторый треугольник АВС. Пусть АВ>ВС. Отложим сторону ВС на стороне АВ, то есть отрезок ВЕ=ВС.

Так как получается, что треугольник ЕВС — равнобедренный, то углы при основании равны.

В треугольнике АЕС ∠А<∠1, так как внешний угол больше любого внутреннего, не смежного с ним. В треугольнике АВС ∠С>∠2.

Получаем:

То есть, против большей стороны АВ лежит больший ∠С. Что и требовалось доказать.

2. Докажем, что против большего угла лежит большая сторона.

Пусть ∠С>∠А треугольника АВС.

Предположим, что АВ<ВС, то по доказанной первой части данной теоремы ∠С<∠А. Получили противоречие.

Если АВ=ВС, то получается, что треугольник АВС равнобедренный, а тогда ∠С=∠А. Снова противоречие.

Так как в каждом из предыдущих случаев наше предположение неверно, тогда получаем, что АВ>ВС. Теорема доказана.

Следствие:

В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ больше катетов АС и ВС. Действительно, верно, так как гипотенуза лежит против прямого угла, а катеты — против острых, градусная мера которых меньше 90 градусов.

Признак равнобедренного треугольника:

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Доказательство:

Пусть АВС треугольник, у которого углы А и С равны. Докажем, что равны стороны АВ и ВС, лежащие против этих углов.

Предположим, что АВ>ВС. Тогда по предыдущей теореме ∠С, лежащий против большей стороны АВ, будет больше ∠А, лежащего против меньшей стороны ВС. Получили противоречие условию равенства углов А и С.

Предположение неверно и стороны АВ и ВС равны, то есть треугольник АВС является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Пример.

В треугольнике АВС сторона АВ=9 см, а сторона ВС=14 см. Какой из углов является большим — А или С?

По теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, получаем:

Так как ∠A лежит против большей стороны ВС.

Пример.

В треугольнике АВС ∠А=45 градусов, а ∠В=65 градусов. Верно ли, что сторона АС больше каждой из сторон АВ и ВС?

По теореме о сумме углов треугольника, получаем:

Воспользовавшись теоремой о соотношениях между сторонами и углами треугольника, выяснили, так как против большего угла лежит большая сторона, а в нашем случае большую градусную меру имеет ∠С, то большей стороной треугольника является сторона АВ.

Ответ: неверно, что сторона АС больше каждой из сторон АВ и ВС

 Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

Теорема: В треугольнике

1. Против большей стороны лежит больший угол

2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона.

1. Дано: АВ>АС

Доказать: ∠С>∠В.

Доказательство: Отложим отрезок AD равный отрезку АС и тогда точка D будет лежать между точек А и В. Луч CD рассечёт угол АСВ на два угла, при этом ∠1=∠2.  ΔАСВ состоит из углов ∠1 и ∠3. ∠2 – внешний для треугольника CDB, значит он больше угла В.

Рис. 1. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

AD=AC<AB

∠1=∠2<∠ACB

∠2=∠B+∠3>∠B

∠1>∠B

∠ACB>∠B, что и требовалось доказать.

2. Дано: ∠С>∠В

Доказать: ∠АВ>∠AC

Доказательство: Докажем методом от противного.

Рис. 2. Обратная теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника , но ∠С>∠В по условию, следовательно, остается только случай, если АВ>АС, что и требовалось доказать.

Ещё раз сформулируем теорему и распространим её на все углы треугольника.

Теорема: В треугольнике

1. Против большей стороны лежит больший угол

2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Рис. 3. Чертёж к теореме

Если АВ>AC>BC, то ∠C>∠B>∠A.

Если ∠C>∠B>∠A, то АВ>AC>BC.

Следствие 1 из теоремы

Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство:

Рис. 4. Чертёж к следствию 1

∠А+∠В+90=180, ∠А+∠В=90=∠С. Отсюда следует, что ∠А<90, ∠В<90. Значит, СВ<АВ, СА<АВ. Гипотенуза АВ больше одного катета и больше другого катета. Следствие доказано.

Следствие 2 из теоремы

Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Дано: ∠В=∠С

Доказать: АС=АВ

Доказательство: Докажем методом от противного.

Рис. 5. Чертёж к следствию 2

АВ>АС ∠С>∠В, то есть АВ=АС. Следствие доказано.

Обсудим следствие 2. Треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны. Из этого вытекает его свойство: углы при основании равны. А теперь у нас есть признак, что если углы при какой-либо стороне равны, то треугольник равнобедренный. Мы имеем признак равнобедренного треугольника.

Решение задач

Пример 1: Сравните углы треугольника и выясните, может ли быть угол А тупым, если АВ=АС<ВС.

Рис. 6. Чертёж к примеру 1

АВ=АС  ∠С=∠В. АС<ВС ÐВ<ÐА. Мы получили соотношение между углами: ∠С=∠В  ∠А=180-(∠В+∠С).

Пример: ∠В=∠С=10, тогда ∠А=180-(10+10)=160.

Ответ: 1) ∠В=∠С<∠А 2) ∠А может быть тупым.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели теорему об отношении между сторонами и углами треугольника. На следующем уроке мы рассмотрим тему о неравенстве треугольников.

Пройдите тест