Напомним, что уравнение, которое содержит переменную под знаком тригонометрических функций, называется тригонометрическим уравнением. Уравнения вида ,
,
и
, где х – переменная, а число
, называются простейшими тригонометрическими уравнениями. На этом уроке мы с вами подробно рассмотрим решение уравнений вида
и
.
Вы уже знаете, что тангенсом угла называется отношение синуса угла
к его косинусу. А котангенсом угла
называется отношение косинуса угла
к синусу угла
.
Важно помнить, что и
определены для любого угла
, а их значения заключены в промежутках от минус единицы до единицы, так как координаты точек единичной окружности заключены в промежутках –1 до 1.
А вот тангенс определён только для тех углов, для которых косинус
не равен нулю, так как делить на нуль нельзя. Тогда тангенс
определён для любых углов, кроме
.
Что касается котангенса , то он определён только для тех углов, для которых синус
не равен нулю. То есть котангенс
определён для любых углов, кроме
.
Исходя из определений тангенса и котангенса, следует, что и
могут принимать любые действительные значения. Значит, уравнения
и
имеют корни при любом значении а.
Так как же решают такие уравнения? Давайте рассмотрим два уравнения: и
.
Решение этих уравнений удобно проиллюстрировать с помощью линии тангенсов. Напомним, что тангенс икс – это ордината точки М пересечения прямой ОМ с линией тангенсов.
Итак, построим углы, тангенсы которых равны 1. Для этого через начальную точку Р проведём прямую, перпендикулярную оси абсцисс, то есть линию тангенсов. На линии тангенсов есть лишь одна точка с ординатой один. Обозначим её М. Затем через точку М и начало координат проведём прямую. Обратите внимание, эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках – и
. Видим, у нас получился прямоугольный треугольник РОМ. Вы уже знаете, что тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему
. Найдём это отношение. Так как РО равно 1, то имеем
.
Отсюда по таблице значений . Таким образом, точка
получается путём поворота начальной точки на угол
. В свою очередь, точка
получается поворотом начальной точки на угол
.
Но ведь в эти точки мы можем попасть не по одному разу. Если мы сделаем полный оборот по единичной окружности, то снова попадём в эти точки. Сделав ещё полный оборот, снова попадём в эти точки и так далее. Отсюда имеет две серии решений:
Как правило, эти серии решений совмещают и записывают как .
Решим второе уравнение . Оно решается аналогичным образом. Итак, построим углы, тангенсы которых равны –1. Для этого проведём линию тангенсов. На линии тангенсов есть лишь одна точка с ординатой –1. Обозначим её М. Затем через точку М и начало координат проведём прямую. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках –
и
. Видим, у нас получился прямоугольный треугольник РОМ. Так как тангенс угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему
, то
. Отсюда
. Таким образом, точка
получается путём поворота начальной точки на угол
. В свою очередь, точка
получается поворотом начальной точки на угол
.
Отсюда уравнение имеет две серии решений:
Как правило, эти серии решений совмещают и записывают как .
Заметим, что каждое из уравнений и
имеет бесконечное множество корней. Однако на интервале
каждое из этих уравнений имеет только один корень. Так,
, – это корень уравнения
, а
, – это корень уравнения
. Число
называют арктангенсом числа 1. Записывают так:
. Число
называют арктангенсом числа –1. Записывают так:
.
Кстати, «арктангенс» в переводе с латинского означает «дуга» и «тангенс». Это обратная функция.
Вообще, уравнение для любого
на интервале
имеет только один корень. Если
, то этот корень заключён в промежутке
;
если же , то корень располагается в промежутке
.
Этот корень называют арктангенсом числа а и обозначают так .
Запомните! Арктангенсом числа называется такое число
, тангенс которого равен а.
, если
и
Например, , так как
,
.
, так как
,
.
Возвращаясь к нашему уравнению , где
, можно утверждать, что все корни уравнения можно найти по формуле:
. Это и есть общая формула нахождения корней уравнения
.
Запомните! Для любого справедлива формула
. Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.
Например, .
Уравнения вида решаются аналогичным образом. Отличия лишь в том, что
– это абсцисса точки М пересечения прямой ОМ с линией котангенсов. И при построении углов, котангенсы которых нужно найти, из прямоугольного треугольника мы будем находить отношение прилежащего катета к противолежащему, так как котангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему
. Вычислив это отношение, мы найдём искомое решение уравнения.
Уравнение также имеет бесконечное множество решений при любых значениях а. Однако на интервале
это уравнение для любого действительного а имеет только один корень. Если
, то этот корень заключён в промежутке
;
если же , то корень располагается в промежутке
.
Этот корень называют арккотангенсом числа а и обозначают так .
Запомните! Арккотангенсом числа называется такое число
, котангенс которого равен а.
, если
и
Например, , так как
,
.
, так как
,
.
Тогда можно утверждать, что все корни уравнения можно найти по формуле:
. Это и есть общая формула нахождения корней уравнения котангенс икс равно а.
Запомните! Для любого справедлива формула
. Эта формула позволяет находить значения арккотангенсов отрицательных чисел через значения арккотангенсов положительных чисел.
Например, .
А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.
Задание. Решите уравнения и
.
Решение.