Цели и задачи урока: познакомить с понятием стандартный вид многочлена, научиться приводить многочлены к стандартному виду, дать корректное определение степени многочлена.
Всем привет!
В любом школьном журнале сначала идут фамилии, потом – имена. При этом очень легко искать ученика по алфавиту. Если бы такой упорядоченности в журнале не было, т. е. у одних бы сначала шла фамилия, а у других имя, запутались бы. Так же и с многочленами: они могут быть одинаковыми по сути, но разными по виду. И поэтому, хорошо бы было договориться о стандартном виде для многочленов, к которому мы бы могли приводить все многочлены, а потом уже выполнять различные действия с ними.
Возьмём два многочлена 4х + 1 и 2х +1 + 2х. У второго многочлена можно сложить 2х и 2х, и получить первый многочлен 4х + 1. Вроде многочлены по виду разные, а по сути одинаковые. Для того чтобы понять, как приводить многочлены к стандартному виду и что это такое, давайте введём определение.
Определение: Одночлены, которые возможно отличаются только коэффициентами, называются подобными.
Т. е. подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть и, возможно, имеют разную числовую часть, а могут и иметь одинаковую числовую часть. Выражения 2х и 2х считаются подобными слагаемыми, они просто одинаковые.
Приведём примеры подобных одночленов:
1. 2х и 4х
2. 5ху и –ху (буквенная часть ху – одинаковая, а числовая часть разная, в одном случае это 5, а в другом –1).
3. –0,5ас и 1,67ас (буквенная часть ас – одинаковая, а коэффициенты –0,5 и 1,67 различны).
Какие слагаемые (одночлены) называются не подобными?
1. 2х и 2 (числовая часть одинаковая, а буквенная часть разная).
2. –34х и 25ху (х общий, но в первом одночлене нет у).
3. 5х2 и 5х3 (очень похожие выражения, но степени у буквенной части разные! В первом одночлене х во 2-й степени, а во втором одночлене в 3-ей степени, значит буквенные части не одинаковые, следовательно, одночлены не подобные).
Дадим определение стандартного вида многочлена.
Определение: Если многочлен состоит из суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных, такой многочлен называют многочленом стандартного вида.
Соответственно, как привести многочлен к многочлену стандартного вида?
1. Убедиться, что все одночлены записаны в стандартном виде.
2. Найти все подобные одночлены и привести подобные.
После этого получим многочлен стандартного вида.
Разберём это на примерах.
Соответственно. теперь мы готовы вернуться к понятию, которое было затронуто на прошлом уроке.
Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в стандартный вид многочлена.
Примеры:
4ху + 2х – 1
Какая степень будет у данного многочлена? В данном случае многочлен стандартного вида. Определим степени входящих в него одночленов 4ху – 2-я степень, 2х – 1-я степень, –1 – 0-я степень, значит, по определению степень данного многочлена равна 2.
abсd + acb – acbd
Приведём одночлены к стандартному виду, в данном случае, переставим буквы в одночленах согласно алфавиту, получим:
abcd + abc – abcd.
Теперь приведём подобные слагаемые, а таковыми у нас являются abcd и –abcd, их сумма даст нам 0. Тогда имеем:
abcd + abc – abcd = abc.
Таким образом, многочлен стоит из одного одночлена abc, его степень совпадает со степенью одночлена и равна 3. Обратите внимание, что только после приведения одночленов к стандартному виду, мы смогли выделить подобные слагаемые.
1,5х2z3 + 3x2z5
Одночлены в стандартном виде, подобных слагаемых нет. Здесь мы просто считаем степени, у первого одночлена степень 5, у второго 7, значит степень многочлена 7.
Потренируемся приводить подобные слагаемые. Напоминаю, что слагаемые называются подобными, если имеют одинаковую буквенную часть:
2х + 1 + х – 5у
Подчеркнём подобные слагаемые, т. е. слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть:
2х + 1 + х – 5у
Складываем коэффициенты у подобных слагаемых, при этом буквенная часть остаётся неизменной, остальные слагаемые переписываем.
2х + 1 + х – 5у = 3х + 1 – 5у
х2 + 3х + 1 – х2 + 2х – 5
Подчёркиваем подобные одночлены и видим, что коэффициенты у первой пары подобных слагаемых – противоположные числа 1 и –1, таким образом, подобные слагаемые взаимно уничтожатся. Коэффициенты второй и третьей пары подобных слагаемых складываем. Заметьте, что разные пары подобных слагаемых мы подчёркиваем по-разному!
х2 + 3х + 1 – х2 + 2х – 5 = 5х – 4
Оставшиеся слагаемые больше не имеют одинаковой буквенной части.
ху – х – (х + у) + 5ху
Этот пример содержит скобки, напомню, что если перед скобками стоит знак «–», то знаки в скобках меняются на противоположные. Итак, раскрываем скобки:
ху – х – х – у + 5ху
Выделим первую пару подобных слагаемых: ху и 5ху, вторая пара –х и –х, приведём подобные и запишем получившийся результат:
6ху – 2х – у
Все буквенные части разные, значит, подобных слагаемых больше нет.
х3 + х2 + 2х + 1
В этом примере ничего привести невозможно! Потому что все одночлены имеют различную буквенную часть, следовательно, данный многочлен приведён к многочлену стандартного вида.
12хх3 – 6х2х2 – 16х4 + 4х2 – х2
Приведём каждый одночлен к стандартному виду, получим следующее:
12х4 – 6х4 – 16х4 + 4х2 – х2
Приведём подобные слагаемые, получаем:
–10х4 + 3х2
Что ж, сегодня мы с вами познакомились с таким понятием как стандартный вид многочлена, научились приводить подобные слагаемые для того, чтобы приводить многочлен к стандартному виду. Кроме того, дали корректное определение степени многочлена.
Впереди ещё много интересного, до встречи!
