Теоретические основы для выполнения умножения многочлена на одночлен — формулировка
Операция умножения многочлена на одночлен является основой для рассмотрения операции умножения многочлена на многочлен и нужно сначала научиться умножать многочлен на одночлен, чтобы разобраться в умножении многочленов.
Основой данной операции является распределительный закон умножения. Напомним его:
;
По существу, мы видим правило умножения многочлена, в данном случае двучлена, на одночлен и это правило можно сформулировать так: чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен. Сложить алгебраически полученные произведения, после чего произвести над многочленом необходимые действия – а именно привести его к стандартному виду.
Правило умножения многочлена на одночлен, решение примеров
Рассмотрим пример:
Комментарий: данный пример решается, точно следуя правилу: каждый член многочлена умножается на одночлен. Для того, чтобы хорошо понять и усвоить распределительный закон, в данном примере члены многочлена были заменены на х и у соответственно, а одночлен на с, после этого выполнено элементарное действие в соответствии с распределительным законом и выполнена подстановка исходных значений. Следует быть внимательными со знаками и правильно выполнить умножение на минус единицу.
Рассмотрим пример умножения трехчлена на одночлен и убедимся, что оно ничем не отличается от такой же операции с двучленом:
Перейдем к решению примеров:
Пример 1:
Комментарий: данный пример решается согласно распределительному закону и аналогично предыдущему примеру — каждый член многочлена умножается на одночлен, полученный многочлен уже записан в стандартном виде, поэтому упростить его нельзя.
Пример 2 – выполнить действия и получить многочлен в стандартном виде:
;
Комментарий: для решения данного примера сначала произведем умножение для первого и второго двучленов согласно распределительному закону, после этого приведем полученный многочлен к стандартному виду — приведем подобные члены.
Теперь сформулируем основные задачи, связанные с операцией умножения многочлена на одночлен, и приведем примеры их решения.
Решение первой типовой задачи – на упрощение выражений
Задача1 – упростить выражение:
;
Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, а именно вначале производится умножение многочленов на соответствующие одночлены, после этого приведение подобных.
Решение второй типовой задачи – вычислительной
Задача 2 – упростить и вычислить:
Пример 1:
; 
;
;
Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, с тем лишь дополнением, что после приведения подобных членов нужно вместо переменной подставить ее конкретное значение и вычислить значение многочлена. Напомним, чтобы легко умножить десятичную дробь на десять, нужно переместить запятую на один разряд вправо.
Пример 2: 
Найти значение многочлена при 
;
Решение третьей типовой задачи – уравнение
Задача 3 – решить уравнение:
Пример 1: 
;
;
;
.
Комментарий: для решения данного уравнения упростим левую его часть: произведем умножение многочленов на соответствующие им одночлены, а свободный член перенесем в правую часть. После приведения подобных остается решить элементарное уравнение.
Пример 2: 
;
;
;
Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему.
Формулировка типичных ошибок
Хотелось бы обратить внимание на типовые ошибки во избежание таковых в дальнейшем:
– неверно!
так как 
;
– неверно!
так как 
;
Вывод: в данном уроке была изучена операция умножения многочлена на одночлен и рассмотрены различные примеры. Кроме того, были сформулированы и решены основные типовые задачи, касающиеся данной операции.
