Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»
- an — степень,
где:
a — основание степени;
n — показатель степени.
Соответственно:
Читается такое выражение, как a в степени n
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:
- 23 = 2·2·2, где:
2 — основание степени;
3 — показатель степени.
Если вам нужно быстро возвести число в степень
, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.
Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.
Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. В начале каждого года вы зарабатываете на нем еще два. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.
Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:
- 3·3·3·3 = 81. То есть получается, что три в степени четыре равно 81.
Математики заскучали и решили все упростить:
- 34 = 81
Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).
|
Свойства степеней
В математике степень с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук — ниже мы их рассмотрим.
Мы будем употреблять такие понятия, как натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа. Чтобы не запутаться, дадим им определение:
- Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы считать предметы: раз банан, два банан.
- Целые числа — это все натуральные числа, натуральные со знаком минусом (−1, −2, −3) и число 0.
- Рациональными называют дробные числа (1/2; 1/3; 1,5)
- Иррациональные числа — это бесконечная десятичная дробь. Например, число пи как раз такое — 3,141592…
Все, теперь мы точно готовы разбираться со свойствами степеней. Поехали!
Свойство 1: произведение степеней
При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:
an · am = am+n
a — основание степени
m, n — показатели степени, любые натуральные числа.
Свойство 2: частное степеней
Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
a — любое число, не равное нулю
m, n — любые натуральные числа такие, что m > n
Свойство 3: возведение степени в квадрат
Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.
(an)m = an· m
a — основание степени (не равное нулю)
m, n — показатели степени, натуральное число
Свойство 4: степень произведения
При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.
(a · b)n = an · bn
a, b — основание степени (не равное нулю)
n — показатели степени, натуральное число
Свойство 5: степень частного
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
(a : b)n = an : bn
a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0,
n — показатель степени, натуральное число
