Подобные члены многочлена

Напомним, какие члены многочлена называются подобными. Дадим определение.

Определение.

Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые в записи многочлена.

Итак, подобными членами многочлена являются члены с одинаковой буквенной частью, а также числа без буквенной части. Приведем пример: в многочлене 3·a·b3−3+4·b2−5+a·b3−11 подобными членами являются члены 3·a·b3 и a·b3, а также числа −3, −5 и −11. Вот их то и можно привести.

К началу страницы

Как приводить подобные члены?

Так как подобные члены многочлена являются подобными слагаемыми, то и приводить их можно также как приводят подобные слагаемые:

  • сначала выполняется группировка подобных членов многочлена;
  • после этого общая буквенная часть выносится за скобки;
  • наконец, выполняются действия с числами в скобках.

Рассмотрим решения примеров. Начнем с простого примера, на нем легко проследить все действия, которые необходимо выполнить для приведения подобных членов.

Пример.

Выполните приведение подобных членов в многочлене 5·x2−3·x+2·x2.

Решение.

Очевидно, подобными членами являются 5·x2 и 2·x2, сгруппируем их: 5·x2−3·x+2·x2=(5·x2+2·x2)−3·x. После вынесения общего множителя x2 за скобки, получаем выражение x2·(5+2)−3·x. Так как 5+2=7, то x2·(5+2)−3·x=x2·7−3·x, а так как принято числовой коэффициент записывать перед переменными, то полученное выражение перепишем как 7·x2−3·x. На этом приведение подобных членов завершено.

Решение без пояснений может быть оформлено так:
5·x2−3·x+2·x2=(5·x2+2·x2)−3·x=x2·(5+2)−3·x=x2·7−3·x=7·x2−3·x.

Ответ:

5·x2−3·x+2·x2=7·x2−3·x.

В многочленах могут быть несколько групп подобных членов.

Пример.

Приведите подобные члены в многочлене 2·x+3·x·y−x+12·x−5−x·y+3·x+7+z2.

Решение.

В данном многочлене подобными членами являются 2·x, −x, 12·x и 3·x, также 3·x·y и −x·y, и еще −5 и 7. После их группировки приходим к выражению (2·x−x+12·x+3·x)+(3·x·y−x·y)+(−5+7)+z2. Теперь выносим за скобки общие множители: (2·x−x+12·x+3·x)+(3·x·y−x·y)+(−5+7)+z2=x·(2−1+12+3)+x·y·(3−1)+(−5+7)+z2. Осталось лишь вычислить значения выражений в скобках, после чего имеем x·16+x·y·2+2+z2. В заключение запишем числовые коэффициенты первых двух членов полученного многочлена перед переменными: x·16+x·y·2+2+z2=16·x+2·x·y+2+z2.

Все преобразования, которые мы провели для приведения подобных членов многочлена, удобно представить в виде цепочки равенств:
2·x+3·x·y−x+12·x−5−x·y+3·x+7+z2=(2·x−x+12·x+3·x)+(3·x·y−x·y)+(−5+7)+z2=x·(2−1+12+3)+x·y·(3−1)+(−5+7)+z2=x·16+x·y·2+2+z2=16·x+2·x·y+2+z2.

После того, как все шаги приведения подобных членов будут отработаны до автоматизма, часть действий можно выполнять в уме. При этом решение можно будет оформлять очень кратко. Покажем, как выглядит приведение подобных членов в краткой записи:
2·x+3·x·y−x+12·x−5−x·y+3·x+7+z2=(2·x−x+12·x+3·x)+(3·x·y−x·y)+(−5+7)+z2=16·x+2·x·y+2+z2.

Ответ:

2·x+3·x·y−x+12·x−5−x·y+3·x+7+z2=16·x+2·x·y+2+z2.

В заключение стоит сказать пару слов о том, в чем приведение подобных членов может быть полезно. Понятно, что приведение подобных членов позволяет упрощать вид многочленов. Без приведения подобных членов редко удается обойтись при выполнении действий с многочленами. А иногда приведение подобных членов помогает привести многочлен к стандартному виду.

Отметить свое присутствие на уроке