Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю выполняется по тем же правилам, что и приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю. Следовательно, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно:

  • найти общий знаменатель для данных дробей;
  • найти дополнительный множитель для каждой дроби;
  • умножить числитель каждой дроби на её дополнительный множитель;
  • записать дроби с найденными новыми числителями и общим знаменателем.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель для дробей, надо разложить знаменатель каждой дроби на множители и взять каждый множитель в наибольшей встречающейся степени.

Пример 1. Привести дроби к общему знаменателю:

2b , c     и a  .
3a2 2b 6ab

Решение: Разложим знаменатели дробей на множители:

3a2 = 3 · a2;

2b = 2 · b;

6ab = 2 · 3 · a · b.

Выпишем множители первого знаменателя и добавим к ним недостающие множители из второго и третьего знаменателя:

3 · a2 · 2 · b = 6a2b.

Мы нашли наименьший общий знаменатель для данных дробей. Теперь, чтобы привести дроби к общему знаменателю, нам надо найти для каждой дроби дополнительный множитель. Для этого нужно разделить общий знаменатель на знаменатель каждой дроби:

6a2b : 3a2 = 2b;

6a2b : 2b = 3a2;

6a2b : 6ab = a.

Умножаем числитель каждой дроби на её дополнительный множитель:

2b · 2b = 4b2;

c · 3a2 = 3a2c;

a · a = a2.

Осталось записать дроби с найденными новыми числителями и их общим знаменателем:

4b2 , 3a2c     и a2  .
6a2b 6a2b 6a2b

Пример 2. Привести дроби к общему знаменателю:

3a     и 4  .
a — 2 a2 — 4

Решение: Разложим на множители знаменатель второй дроби, используя формулу разности квадратов:

a2 — 4 = a2 — 22 = (a + 2)(a — 2).

Получившееся произведение и будет общим знаменателем для данных дробей. Значит, для приведения дробей к общему знаменателю, нам нужно только умножить числитель первой дроби на сумму чисел  (a + 2).

3a · (a + 2) = 3a2 + 6a.

В результате у нас получилось:

3a2 + 6a      и 4  .
(a + 2)(a — 2) (a + 2)(a — 2)

Произведение суммы и разности чисел  a  и  2  можно обратно свернуть в квадрат разности для более краткой записи дробей:

3a2 + 6a     и 4  .
a2 — 4 a2 — 4

 

Пройдите тест