Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Даны два треугольника △ABC  и  △A1B1C1,  у которых:
AC = A1C1,
AB = A1B1,
CB = C1B1.

Равенство треугольников по трем сторонам

Докажите, что △ABC  = △A1B1C1.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.

AC = A1C1, BC = B1C1, то △A1C1С и △B1C1С — равнобедренные.
∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника), значит,
∠A1СB1 = ∠A1C1B1.
AC = A1C1, BC = B1C1.
∠C = ∠C1, тогда △ABC  = △A1B1C1 (по первому признаку равенства треугольников).

Теорема доказана.

Рассмотрим ещё один случай доказательства третьего признака равенства треугольников.

Дано: ∆ABC, ∆А1В1С1,

АC = А1C1,

АB = А1B1

CB = C1B1

Доказать: ∆ АВС = ∆ А1В1С1. 

Доказательство.

  1. Приложим треугольник ABC к треугольнику А1В1С1, так чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, вершина B с B1, вершины C и C1лежали по разные стороны от прямой A1B1.
  2. Так как АC = А1C1,→∆АC1С – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника. ∠C =∠С1. (по свойству равнобедренного треугольника).
  3. АC = А1C1, BC = B1C1 (по условию), ∠C = ∠C1→∆АВС = ∆А1В1С1 (по 1 признаку равенства треугольников).

Теорема доказана.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. На рисунке изображены треугольники ABH и BHА1, ∠1 = ∠2, ∠АВH =∠А1ВH. Будут ли треугольники ABH и BHА1 равными?

По условию в треугольниках ABH и BHА1, ∠1 = ∠2, ∠АВH = ∠А1ВH, BH ‑ общая сторона.

Следовательно, ∆ABH = ∆BHА1 (по второму признаку равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.)

Ответ: ∆ABH = ∆BHА1.

№ 2. Периметр треугольника AOR равен 21 см, периметр четырёхугольника AORF равен 22 см. При этом AO = RF, OR = AF. Найти AR.

Для решения задачи, нужно вспомнить формулу периметра треугольника и четырёхугольника.

Р∆ AOR = АО + OR + AR = 21 см

РAORF = АО + OR + RF + AF = 22 см

По условию AO = RF, OR = AF, AR ‑ общая сторона →∆AOR = ∆ARF (по 3 признаку равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны).

Т.к. AO = RF, OR = AF.

РAORF = АО + OR + АО + OR = 2 · АО + 2 · OR = 22 см;

АО + OR = 22 : 2 = 11 см

Р∆ AOR = 11см + AR = 21 см

AR = 21см – 11см =10 см

Ответ: AR = 10 см.

Домашнее задание
Выучить теоремы 1 — 3 признак равенства треугольников!
ВНИМАНИЕ! Знания теорем 1 — 3 признака равенства треугольников, будут проверяться на оценку.
Упр. 133, 135, 137, 139 из учебника. (эл. вариант учебника по ссылке)
Присылать ничего не надо! Проверка будет по выходу из карантина!