Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Ранее, на уроках математики, вы познакомились с различными геометрическими фигурами, в том числе и с треугольниками. При изучении геометрии, вы узнали признаки равенства треугольников, выяснили, что такое медиана, биссектриса и высота треугольника.
Сегодня мы продолжим изучать треугольники и рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии– теорему о сумме углов треугольника.
Сформулируем эту теорему.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Дано: ∆АВС.
Доказать:
∠А+∠В +∠С = 180º
Доказательство:
Проведем через вершину В прямую а ║АС.
∠1 = ∠4 (по свойству параллельных прямых, т. к. это накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей АВ), ∠3 = ∠5 (по свойству параллельных прямых, т. к. это – накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей ВС)→ ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180° (по свойству развёрнутого угла) → ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° → ∠А + ∠В + ∠С = 180°.
Что и требовалось доказать.
Теперь введём ещё одно понятие, связанное с треугольниками –внешний угол треугольника. Это угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.
Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Дано: ∆АВС.
Доказать:
∠4 = ∠1 + ∠2.
∠3 + ∠4 = 180° (по свойству развёрнутого угла).
∠3 + (∠2 + ∠1) = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) → ∠4 = ∠2 + ∠1.
Что и требовалось доказать.
Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что если один из углов треугольника равен 90 градусам или больше 90 градусов, то остальные два угла будут острые, т.к. их сумма не должна превышать 90 градусов. Поэтому, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.
Исходя из этого, можно классифицировать треугольники по углам.
По углам треугольник может быть:
‑ остроугольным, если все его углы являются острыми (т.е. меньше 90°);
‑ тупоугольным, если один из его углов тупой (т.е. больше 90°);
‑ прямоугольным, если один угол 90° (т.е. прямой).
В прямоугольном треугольнике стороны имеют свои названия.
Сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие – катетами.
∆АВС– прямоугольный.
∠В = 90°.
АС – гипотенуза.
АВ,ВС – катеты.
Докажем свойство прямоугольного треугольника, которое устанавливается с помощью теоремы о сумме углов треугольника.
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.
Дано:
∆АВС – прямоугольный.
∠В = 90°.
Доказать: ∠А +∠С = 90°.
Доказательство:
∠А +∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).
∠В = 90° (по определению прямоугольного треугольника) →∠А + ∠С + 90° = 180°
∠А + ∠С = 180 – 90° = 90°
Что и требовалось доказать.
Решим задачу.
Докажем, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 °.
Дано:
∆АВС – равносторонний
Доказать: ∠А =∠С = ∠В = 60°.
Доказательство:
Так как треугольник АВС равносторонний →АС = АВ = ВС (по определению равностороннего треугольника) → если АС = АВ → ∠С = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника). Аналогично, если АС = СВ → ∠А = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника) → ∠А = ∠С = ∠В.
∠А + ∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).
∠А = ∠С = ∠В = 180° : 3 = 60°.
Что и требовалось доказать.
Материал для углублённого изучения темы.
Угловой отражатель.
Одно из свойств прямоугольного треугольника ‑сумма двух его острых углов равна 90°‑используется в технике, например, в угловом отражателе. Это устройство, которое отражает падающий на него пучок параллельных лучей при любом расположении отражателя по отношению к падающему пучку лучей.
Отражатель, например, устанавливается на заднем крыле велосипеда, для того, чтобы «возвращать назад» свет автомобильных фар, чтобы водитель машины видел велосипедиста ночью.
Ещё угловой отражаетель был установлен на автоматической космической станции, запущенной на Луну( выделен на рисунке кружочком), с целью определения точного расстояния от Земли до Луны.
Разбор заданий тренировочного модуля
1. Чему равна градусная мера углаА, если треугольник АВС прямоугольный?
Решение:
По условию, ∆АВС – прямоугольный → сумма его острых углов равна 90°.
∠А+∠В=90°
∠В = 45° (по рисунку) →∠А + 45° = 90°.
∠А=90° – 45° = 45°.
Ответ: ∠А = 45°.
2. По рисунку найдите угол N треугольника FNA.
Решение:
По рисунку ∠NAP= 140°, этот угол внешний к углу А треугольника FNA→
∠NAP = ∠N +∠F= 140° (т.к. внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним).
∠F = 60° (по рисунку).
∠N + 60° = 140°.
∠N = 140° – 60° = 80°.
Ответ:∠N = 80°.
