На прошлом уроке мы с вами говорили, что параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Также мы рассмотрели некоторые свойства параллелограмма. Вспомним их.
Свойство 1. Сумма углов при соседних вершинах параллелограмма равна 
.
Свойство 2. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
Свойство 3. У параллелограмма противоположные стороны равны.
Свойство 4. У параллелограмма противоположные углы равны.
Свойство 5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
На этом уроке мы рассмотрим три признака параллелограмма. Отметим, что свойство – это то, чем обладает данная фигура. А признак – это то, чем фигура отличается от других, то есть черты, по которым мы можем отличить данную фигуру от других.
Теорема. 1-й признак параллелограмма. Если у четырёхугольника две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Докажем это.
Рассмотрим 
и 
.
,
.
Сторона 
– общая, по условию,
как накр. лежащие при и секущей .
по первому признаку. Следовательно, 
. 
, 
– накр. лежащие при 
и 
и секущей .
Так как , то 
.
, ,следовательно, 
– параллелограмм.
Теорема доказана.
Теорема. 2-й признак. Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Доказательство.
Пусть в четырёхугольнике ABCD сторона
,
.
Проведём диагональ AC, которая разделяет четырёхугольник на два треугольника ABC и CDA.
Рассмотрим и .
Сторона – общая, по условию, по условию.
по третьему признаку.
Следовательно, .
Так как 
, 
– накр. лежащие при 
и 
и секущей ,то .
,,тогда по 1-му признаку – параллелограмм.
Теорема доказана.
Теорема. 3-й признак. Если у четырёхугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Доказательство.
Пусть в четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.
Рассмотрим 
и 
.
по условию,
по условию,
как вертикальные.
по первому признаку.
Следовательно, ,.Так как , – накр. лежащие при и и секущей ,то .
,,тогда по 1-му признаку – параллелограмм.
Теорема доказана.
Теперь решим несколько задач.
Задача. Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом, если – диагональ, а и .
Доказательство.
, – накр. лежащие при и 
и секущей .
Так как , то .
, – накр. лежащие при и и секущей .
Так как , то ., ,следовательно, – параллелограмм.
Решим эту задачу ещё одним способом.
Рассмотрим и .Сторона – общая, ,по условию.
по второму признаку, следовательно, ,.
Тогда – параллелограмм по 2-му признаку.
Что и требовалось доказать.
Задача. Отрезки и 
– диагонали четырёхугольника , которые пересекаются в точке 
. , а . Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.
Доказательство.
Рассмотрим и .
по условию,
по условию,
как вертикальные.
по второму признаку.
Следовательно, .
Тогда – параллелограмм по 3-му признаку.
Что и требовалось доказать.
Пройдите тест
