С прошлых уроков вам уже известно, что векторы можно складывать и делать это вы уже умеете с помощью правила треугольника.
Для того, чтобы изобразить вектор суммы двух векторов 
и 
, от некоторой точки А откладывают вектор 
. Далее от точки B откладывают вектор 
. Тогда вектор 
.
Для дальнейшей работы с векторами нам понадобится знание следующих законов сложения векторов.
Сумма векторов 
. Этот закон называют переместительным законом: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
И ещё один закон. 
. Этот закон называют сочетательным законом.
По очереди докажем каждый из них.
Рассмотрим переместительный закон для неколлинеарных векторов и .
Доказательство.
Итак, от произвольной точки А отложим вектор , и вектор 
.
На этих векторах построим параллелограмм ABCD.
А теперь, пользуясь правилом треугольника сложения двух векторов, заметим, что 
, то есть равен сумме векторов 
.
, 
С дугой стороны, 
, 
Отсюда можем сделать вывод, что сумма векторов 
равна сумме векторов 
.
Что и требовалось доказать.
Теперь перейдём к доказательству сочетательного закона для трёх неколлинеарных векторов , , 
.
От произвольной точки А отложим Вектор 
, равный вектору . От точки B отложим вектор 
, равный вектору . А от точки C отложим вектор 
, равный вектору .
Рассмотрим левую часть равенства, выражающего сочетательный закон. Запишем вектора , , как 
.
В скобках записана сумма векторов 
. Пользуясь правилом треугольника, можем записать, что эта сумма равна вектору 
.
А сумма вектора и , в свою очередь, по правилу треугольника равна вектору 
.
Теперь аналогично поступим с правой частью равенства, задающего сочетательный закон.
По правилу треугольника 
.
Отсюда делаем вывод, .
Что и требовалось доказать.
Вернёмся к рисунку из доказательства переместительного закона.
Обратите внимание, если векторы , отложить от одной точки и построить на них параллелограмм, то диагональ этого параллелограмма задаёт вектор суммы векторов и .
Такое правило сложения векторов называют правилом параллелограмма.
Изобразим вектор суммы для каждой пары векторов, пользуясь правилом параллелограмма.
Первым изобразим вектор суммы векторов и .
Отложим от произвольной точки А вектор , равный вектору .
Далее от точки А отложим вектор , равный вектору .
Теперь на этих векторах построим параллелограмм ABCD. Вектор является вектором суммы векторов и .
Далее изобразим вектор суммы векторов 
и 
.
Обратите внимание, что каждый раз вектор суммы берёт своё начала из точки начала обоих векторов-слагаемых.
Последним изобразим вектор суммы векторов 
и 
.
Задача. В треугольнике 
сторона 
равна 
, 
— 
, а 
.
Найти длину векторов 
и 
.
Решение.
Ответ: 
, .
Давайте подведём итоги нашего урока.
Сегодня вы познакомились с законами сложения векторов. А именно с переместительным и сочетательным законами сложения векторов. А так же освоили правило параллелограмма для сложения двух векторов.
Оно заключается в следующем: чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от произвольной точки А векторы и равные векторам и соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор
равен сумме векторов и .
Пройдите тест
