Вам уже знакомы правило треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника сложения векторов.
Чтобы сложить неколлинеарные векторы 
и 
по правилу треугольника, нужно от некоторой точки А отложить вектор 
, равный вектору 
. Далее от точки B отложить вектор 
, равный вектору . Вектор 
является вектором суммы двух векторов и .
Для сложения этих же векторов можно использовать правило параллелограмма. При этом нужно отложить от произвольной точки А векторы 
и 
, равные векторам А и соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор AC равен сумме векторов и .
Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника. При этом от некоторой точки последовательно откладывают векторы друг за другом, и вектором их суммы является вектор, проведённый от начала первого вектора к концу последнего.
Также вы владеете двумя способами построения вектора разности.
Можно от некоторой точки О отложить векторы 
и 
, равные векторам и . При этом вектором их разности будет вектор 
, направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.
Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов и можно представить в виде суммы вектора и вектора, противоположного вектору .
Тогда, отложив от некоторой точки О вектор = , а от точки А — вектор = –, по правилу треугольника получим вектор .
Он является вектором суммы вектора и вектора, противоположного вектору . И, соответственно, вектором разности векторов и .
Сегодня мы познакомимся с ещё одним действием над векторами — умножением вектора на число.
Но, для начала, рассмотрим пример.
Парусник дрейфует прямолинейно с одной и той же скоростью, а один из лайнеров движется в попутном направлении со скоростью в пять раз большей. Второй лайнер движется им на встречу, то есть в противоположном направлении, с той же скоростью, что и первый лайнер.
Если изобразить скорость парусника вектором 
, то скорость первого лайнера, движущегося в попутном направлении, нужно изобразить в виде сонаправленного вектора, длина которого в пять раз больше. И выразить эту скорость можно через скорость b умножением на 5.
Вектор скорости второго лайнера должен иметь такую же длину, как и вектор скорости первого лайнера, но он должен быть ему противоположно направленным. Значит, его можно выразить через вектор умножением на -5.
Этот пример поможет нам ввести понятие произведения вектора на число.
Определение. Произведением ненулевого вектора на число 
называется такой вектор , длина которого равна 
. Причем 
, 
.
Произведение числа 
обозначают так 
.
Следствия.
1. Произведение вектора на ноль, равно нулевому вектору 
.
2. Ненулевой вектор коллинеарен вектору, заданному произведением данного вектора на число k 
коллинеарны.
Ведь, если 
, то полученный вектор сонаправлен вектору , а если 
, то он противоположно направлен ему. Но в каждом из этих случаев они будут коллинеарны.
По данному вектору 
построить векторы: 
; 
; 
; 
.
Длина вектора должна быть в три раза больше длины вектора . И этот вектор будет сонаправлен вектору , ведь k в данном случае равно трём, а это больше нуля.
; 
.
Далее изобразим вектор 
, 
.
Длина вектора 
, 
.
Последним построим вектор 
.
, 
.
Чтобы умножить вектор на произведение чисел k и l, можно вектор сначала умножить на число l, а затем на число k: 
. Этот закон называют сочетательным, и его можно проиллюстрировать так.
Рассмотрим случай, когда 
, 
: 
.
Вторым свойством запишем, что 
. Это первый распределительный закон.
Проиллюстрируем его.
Также рассмотрим случай, когда , : 
.
Запишем второй распределительный закон 
.
Например, если рассмотреть подобные треугольники 
с коэффициентом подобия k, то можно записать, что вектор 
, вектор 
, а вектор 
.
С другой стороны вектор 
. Отсюда получаем, что произведение .
Данные свойства произведения вектора на число позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же как и в числовых выражениях.
Преобразуем выражения с векторами с помощью известных свойств.
Можно сделать вывод, что над выражениями с векторами можно выполнять все те же преобразования, что и над алгебраическими выражениями.
Задача. Начертить попарно неколлинеарные векторы , и 
. Построить векторы 
, 
и 
.
Построение.
Подведём итоги нашего урока.
Сегодня вы познакомились с новым действием над векторами: умножением вектора на число.
Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна произведению модуля числа k и длины данного вектора . Причем векторы и сонаправлены, если k больше либо равно 0, и противоположно направлены, если k меньше 0.
Также записали два следствия из определения:
произведение вектора на ноль, равно 
;
ненулевой вектор коллинеарен вектору, заданному произведением данного вектора на число k.
Исходя из того, что произведение вектора на число обладает тремя свойствами, мы получили сочетательный закон, а также первый и второй распределительные законы.
Они позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же как и в числовых выражениях.
Пройдите тест
