Вам уже известны правила сложения двух векторов.
Cегодня мы будем учиться складывать несколько векторов.
Построим вектор суммы векторов 
, 
, 
. От некоторой точки А отложим вектор
. Далее от точки B отложим вектор 
. А от точки C отложим вектор
.
Будем последовательно складывать наши векторы, пользуясь правилом треугольника.
Сумма векторов , равна вектору 
.
Теперь к вектору добавим вектор . В результате мы получаем вектор 
.
Тогда можем сказать, что сумма 
.
Так, последовательно складывая первый вектор со вторым, затем их сумму с третьим и так далее, можно найти суммы четырёх, пяти и большего числа векторов.
Такое правило построения суммы векторов называют правилом многоугольника.
Сформулируем его в общем виде.
Если А1, А2, …, An — произвольные точки плоскости, то сумма векторов 
.
Это равенство справедливо для любых точек А1, А2, …, An. И, в частности, для случая, когда некоторые из них совпадают.
Например, если начало первого вектора совпадает с концом последнего, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.
Задача. Построить вектор суммы попарно неколлинеарных векторов , , , 
и 
.
Построение
.
Задача. В соответствии с правилом многоугольника составить равенство,выражающее сумму нескольких векторов.
Посмотрим на первый рисунок. Мы видим, что последовательно складывают векторы 
. Но, так как начало вектора совпадает с концом вектора 
, то сумма данных векторов равна нулевому вектору 
.
Перейдём к следующему случаю.
Видим, что сумма состоит из векторов 
. А вот вектор , как раз таки, и равен ей.
На рисунке в последовательно, друг за другом, отложены векторы 
Ну, а вектор 
равен их сумме.
На последнем рисунке последовательно, друг за другом, отложены векторы 
. При этом Начало вектора К совпадает с концом вектора С. Поэтому сумма данных векторов равна нулевому вектору 
.
Задача. 
равнобокая трапеция.
и 
— её основания, боковая сторона равна 
. Построить вектор 
и найти его длину.
Построение
Решение.
Ответ: 
А теперь подведём итоги нашего урока.
Сегодня мы познакомились с правилом многоугольника, которое позволяет строить вектор суммы нескольких векторов.
Его суть заключается в том, что векторы-слагаемые последовательно откладывают друг от друга, суммой является вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора-слагаемого, а конец совпадает с концом последнего вектора-слагаемого.
Если эти точки совпадают, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.
Вам уже знакомы правила сложения векторов.
Чтобы сложить неколлинеарные векторы 
и 
по правилу треугольника, нужно от некоторой точки А отложить вектор 
, равный вектору . Далее от точки B отложить вектор 
, равный вектору . Вектор 
является вектором суммы двух векторов и .
Для сложения этих же векторов можно использовать правило параллелограмма. При этом нужно отложить от произвольной точки А векторы и 
, равные векторам и соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор равен сумме векторов и .
Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника. При этом от некоторой точки последовательно откладывают векторы друг за другом, и вектором их суммы является вектор, проведённый от начала первого вектора к концу последнего.
Так же вам известны законы сложения векторов: переместительный и сочетательный.
На этом уроке поговорим о разности двух векторов. Её обозначают так 
.
Разностью векторов 
и 
называют такой вектор 
, сумма которого с вектором равна вектору .
Чтобы получить представление о разности двух векторов, решим задачу.
Задача. По данным векторам и построить вектор 
.
Построение
.
Вектор 
— искомый.
Эту задачу можно решить другим способом.
Но перед тем как его привести введём понятие вектора, противоположного данному.
Для произвольного ненулевого вектора вектор 
будет противоположным, если:
Вектор, противоположный вектору , обозначается так 
. И говорят «вектор минус a».
Очевидно, что сумма вектора с противоположным ему равна нулевому вектору 
.
Запишем теорему о разности двух векторов.
Для любых векторов и справедливо равенство 
.
Докажем данную теорему.
Доказательство.
Что и требовалось доказать.
Опираясь на эту теорему, приведём ещё одно решение задачи на построение разности векторов 
.
Способ
Отметим произвольную точку О и от неё отложим вектор . Далее отложим от точки А вектор 
.
По правилу треугольника сумма 
.
А значит, пользуясь теоремой о разности двух векторов, можем сделать вывод о том, что разность векторов 
. И вектор 
— искомый.
Итак, можем сделать вывод, что вектор разности двух векторов можно строить двумя способами.
Можно от некоторой точки О отложить векторы 
и , равные векторам . При этом вектором их разности будет вектор , направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.
Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов можно представить в виде суммы вектора 
.
Тогда, отложив от некоторой точки О вектор , равные вектору , а от точки А — вектор , равный вектору 
, по правилу треугольника получим вектор .
Он является вектором суммы вектора . И, соответственно, вектором разности векторов .
Задача. Начертить попарно неколлинеарные векторы , и 
. Построить на них векторы: 
, , 
, , 
и 
.
Построение.
Для начала построим векторы, противоположные данным.
Векторы являются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.
Выберем точки А, B и C, от которых будем откладывать противоположные векторы.
Далее через каждую из этих точек проведём прямые параллельные векторам , и соответственно.
От отмеченных точек на проведённых прямых можно изобразить векторы, равные данным, и, противоположные данным. Нам нужны те, которые противоположны векторам , и соответственно.
Так мы построили векторы , 
и .
Задача. Сторона квадрата 
равна 
. Найти 
и 
.
Построение.
Решение.
По теореме Пифагора: 
Ответ: ; .
Подведём итоги нашего урока.
Сегодня вы познакомились с понятием противоположного вектора. Противоположные векторы имеют равные длины и противоположно направлены.
Мы ввели понятие разности двух векторов. Разностью векторов , называют такой вектор , сумма которого с вектором равна вектору .
Для построения вектора разности мы выделили два способа.
Можно от некоторой точки О отложить векторы и 
, равные векторам и . При этом вектором их разности будет вектор, направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.
Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов и можно представить в виде суммы вектора и вектора, противоположного вектору .
Тогда, отложив от некоторой точки О вектор , равный вектору , а от точки А — вектор , равный вектору , по правилу треугольника получим вектор .
Он является вектором суммы вектора и вектора, противоположного вектору . И, соответственно, вектором разности векторов и .
Теперь вы владеете не только правилами сложения, а ещё и правилом вычитания векторов.
