1. Определение параллелограмма

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Параллелограмм

То есть, если даны две параллельные прямые, которые пересекают еще две параллельные прямые, то они образуют фигуру, которая называется параллелограммом .

Из того, что  – параллелограмм, можно сделать следующие выводы: . Верно и обратное утверждение: если , то четырёхугольник  – параллелограмм.

Помимо данного определения, можно дать ещё несколько эквивалентных, однако мы остановимся именно на таком, классическом определении параллелограмма, и сформулируем свойства данной фигуры, пользуясь параллельностью её противоположных сторон.

2. Первое свойство параллелограмма и его доказательство

Свойство 1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.

Дано:

 – параллелограмм ().

Доказать: ; .

Доказательство:

Поскольку нам ничего не известно, кроме того, что  – параллелограмм, то при доказательстве данного свойства мы будем пользоваться определением параллелограмма, то есть параллельностью его противоположных сторон.

Проведем диагональ  и рассмотрим два полученных треугольника (см. Рис. 2.).

Они имеют общую сторону . Эта сторона  является секущей при параллельных прямых .

Рис. 2

Воспользуемся свойством параллельных прямых, а именно: внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. В нашем случае в роли внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых  и секущей  выступают углы . Аналогичное равенство можно получить и для внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых  и секущей : .

Если теперь сложить полученные равенства, то получим, что: . Или: . Таким образом, мы доказали равенство двух противоположных углов параллелограмма. Осталось доказать равенство второй пары углов и равенство противоположных сторон.

Для этого рассмотрим треугольники: . Они имеют общую сторону . К стороне  примыкают углы  и  в одном треугольнике, углы  и  в другом треугольнике. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилегающим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Если записывать строго, то получаем следующую цепочку логических преобразований:

 (по 2-му признаку равенства треугольников)

Примечание: при записи факта равенства треугольников необходимо учитывать порядок расстановки букв – буквы, означающие равные углы треугольника, должны идти на одинаковых порядковых местах в обозначении треугольников (в нашем примере: вторая буква  в названии  соответствует углу , как и вторая буква  ).

Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов этих треугольников. Значит:

. Таким образом, мы доказали, что если четырёхугольник – параллелограмм, то его противоположные углы и стороны попарно равны.

Доказано.

3. Второе свойство параллелограмма

Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Дано:

 – параллелограмм ().

Доказать:  (см. Рис. 3).

Доказательство:

Проведем диагонали  и  и отметим их точку пересечения: . Рассмотрим треугольники  и .

Рис. 3

Они равны по второму признаку равенства треугольников (стороне и двум прилежащим к ней углам). Действительно:

 (по 2-му признаку равенства треугольников)

Равенство углов вновь следует из того, что они являются внутренними накрест лежащими при соответствующей секущей и параллельных прямых (которыми являются противоположные стороны параллелограмма по определению). Противоположные стороны равны по доказанному выше свойству 1.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. Значит: .

Доказано.

Доказанные свойства параллелограмма позволяют решать многочисленный класс задач. Разберём несколько примеров.

4. Примеры задач на свойство параллелограмма

Пример 1.

Периметр параллелограмма равен 48 см. Найти его стороны, если одна сторона на 3 сантиметра больше другой (см. Рис. 4).

Дано:

 – параллелограмм, . .

Найти:

Решение:

Рис. 4

Обозначим меньшую сторону параллелограмма . Учитывая свойство 1 для параллелограмма, запишем следующее равенство: . Из условия: .

Напомним, что периметр многоугольника – это сумма всех его сторон. Поэтому можем записать следующее равенство: .

Или: .

Получаем, что стороны параллелограмма: , .

Ответ: .

Пример 2

Биссектриса угла  параллелограмма  пересекает сторону  в точке . . Найдите периметр параллелограмма.

Дано:

 – параллелограмм,  – биссектриса. . .

Найти:

Решение:

Рис. 5

Вспомним определение биссектрисы: биссектриса делит угол пополам. Это значит, что: . Кроме того,  является секущей при параллельных прямых . А это значит, что внутренние накрест лежащие углы равны: .

Из этого получается:

.

Так как , то . Откуда: .

Периметр – сумма всех сторон, у параллелограмма противоположные стороны равны. Получаем: .

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели определение и свойства параллелограмма, в частности: равенство противоположных сторон и углов, а также то, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, и использовали эти свойства при решении задач.

В дальнейшем мы изучим признаки параллелограмма, а также научимся применять свойства и признаки параллелограмма при решении более сложных примеров.

Домашнее задание

  1. Найдите периметр параллелограмма , если сторона  равна  и составляет  стороны .
  2. Периметр параллелограмма равен . Найдите стороны параллелограмма, если одна из них на  больше другой.
  3. Найдите углы параллелограмма, если градусные меры двух его углов относятся как .
  4. Точка пересечения диагоналей параллелограмма удалена от двух его вершин на  и . Найдите длины диагоналей параллелограмма.