1. Определение и основные свойства параллелограмма

Начнем с того, что вспомним определение параллелограмма.

Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Параллелограмм

Вспомним основные свойства параллелограмма:

Для того, чтобы иметь возможность пользоваться всеми этими свойствами, необходимо быть уверенным, что фигура, о которой идет речь, – параллелограмм. Для этого необходимо знать такие факты, как признаки параллелограмма. Первые два из них мы сегодня и рассмотрим.

2. Первый признак параллелограмма

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. .

Рис. 2. Первый признак параллелограмма

Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ  (см. Рис. 2), она разбила его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках:

по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства указанных треугольников следует, что  по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Имеем, что:

 параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.

Доказано.

3. Второй признак параллелограмма

Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. .

Рис. 3. Второй признак параллелограмма

Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ  (см. Рис. 3), она разбивает его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках, исходя из формулировки теоремы:

 по третьему признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что  и  по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Получаем:

 параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.

Доказано.

4. Пример на применение первого признака параллелограмма

Рассмотрим пример на применение признаков параллелограмма.

Пример 1. В выпуклом четырехугольнике  Найти: а) углы четырехугольника; б) сторону .

Решение. Изобразим Рис. 4.

Рис. 4

 параллелограмм по первому признаку параллелограмма.

А.  по свойству параллелограмма о противоположных углах,  по свойству параллелограмма о сумме углов, прилежащих к одной стороне.

Б.  по свойству равенства противоположных сторон.

Ответ. .

На следующем уроке мы рассмотрим еще один признак параллелограмма (третий).

Домашнее задание

  1. Докажите, что если сумма углов, прилежащих к любой из сторон четырехугольника, равна , то этот четырехугольник – параллелограмм.
  2. Точки  и  – соответственно середины сторон  и  параллелограмма . Докажите, что четырехугольник  – параллелограмм.
  3. В треугольнике  медиана  перпендикулярна к стороне . Найдите .