1. Определение и основные свойства параллелограмма
Начнем с того, что вспомним определение параллелограмма.
Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).
Рис. 1. Параллелограмм
Вспомним основные свойства параллелограмма:
Для того, чтобы иметь возможность пользоваться всеми этими свойствами, необходимо быть уверенным, что фигура, о которой идет речь, – параллелограмм. Для этого необходимо знать такие факты, как признаки параллелограмма. Первые два из них мы сегодня и рассмотрим.
2. Первый признак параллелограмма
Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. .
Рис. 2. Первый признак параллелограмма
Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 2), она разбила его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках:
по первому признаку равенства треугольников.
Из равенства указанных треугольников следует, что по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Имеем, что:
параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.
Доказано.
3. Второй признак параллелограмма
Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. .
Рис. 3. Второй признак параллелограмма
Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 3), она разбивает его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках, исходя из формулировки теоремы:
по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует, что и
по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Получаем:
параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.
Доказано.
4. Пример на применение первого признака параллелограмма
Рассмотрим пример на применение признаков параллелограмма.
Пример 1. В выпуклом четырехугольнике Найти: а) углы четырехугольника; б) сторону
.
Решение. Изобразим Рис. 4.
Рис. 4
параллелограмм по первому признаку параллелограмма.
А. по свойству параллелограмма о противоположных углах,
по свойству параллелограмма о сумме углов, прилежащих к одной стороне.
Б. по свойству равенства противоположных сторон.
Ответ. .
На следующем уроке мы рассмотрим еще один признак параллелограмма (третий).
Домашнее задание
- Докажите, что если сумма углов, прилежащих к любой из сторон четырехугольника, равна
, то этот четырехугольник – параллелограмм.
- Точки
и
– соответственно середины сторон
и
параллелограмма
. Докажите, что четырехугольник
– параллелограмм.
- В треугольнике
медиана
перпендикулярна к стороне
. Найдите
.