Урок №6 -7. Степень с рациональным показателем.

Вам уже знакомы понятия степени числа с натуральным и целым показателями. Напомним, что степенью с натуральным показателем называется произведение . Здесь а – основание степени, – показатель степени, при .

В свою очередь, степенью с отрицательным целым показателем называется , где , – натуральное число.

Однако в алгебре существует ещё и понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число. Итак, попытаемся записать как некоторую степень числа а, то есть .

Мы знаем, что . Исходя из того, что мы представили , то получим, что . По свойству возведения степени в степень имеем . Откуда видим, что произведение . Следовательно, .

Тогда получаем, что . По свойству возведения корня n-й степени в степень получим, что .

Например,

Сделаем вывод: если — натуральное число, причём , — целое число и частное является целым числом, то при справедливо равенство .

Пусть , причём — целое число. Отсюда . Тогда .

Если же частное не является целым числом, то степень числа а, где , определяют так, чтобы выполнялась формула , то есть и в этом случае считают, что .

Таким образом, формула справедлива для любого целого числа и любого натурального числа и положительного основания степени .

Например,

Напомним, что рациональное число – это число вида , где – целое, – натуральное число. Тогда по формуле получаем .

Таким образом, степень определена для любого рационального показателя и любого положительного основания а.

Если рациональное число , то выражение имеет смысл не только при положительном основании степени, но и при , причём . Поэтому считают, что при .

Пользуясь формулой , степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.

Запомните! Степенью числа с рациональным показателем , где – целое число, а – натуральное, причём , называется число .

Замечание: из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого и любого рационального число – положительно.

Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби. По основному свойству дроби частное можно представить, как частное , где
и – натуральные числа, – целое число. Тогда при любом справедливо равенство.

Что легко доказать применяя свойства корней.

Имеем.

Заметим, что при отрицательном основании степени рациональная степень числа а не определяется. Отрицательные числа нельзя возводить в рациональную степень, не являющуюся целым числом.

А теперь перейдём к основным свойствам степени и покажем, что все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием.

А именно для любых рациональных чисел и и любых и верны равенства: