Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы, вспомним формулы сложения для синуса: 
, 
; косинуса: 
, 
; тангенса: 
, 
; котангенса: 
, 
. Также вспомним, если угол 
можно представить как 
, где 
– целое число, то при повороте на угол получаем ту же самую точку, что и при повороте на угол 
.
Вы, наверное, обращали внимание, что таблицы значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса обычно составляются для углов от 
до 
(или от 
до 
). Это означает, что вычисления их значений для остальных углов сводятся к вычислению значений для острых углов.
Давайте вычислим 
и 
.
, а значит, при повороте точки 
вокруг начала координат на 
точка совершает три полных оборота и ещё поворот на 
и оказывается в точке 
. Таким образом, получается та же самая точка, что и при повороте на угол . Тогда можем записать, что 
и 
.
Теперь построим точку 
, симметричную точке относительно оси 
.
, то есть 
. А так как по построению точки и симметричны относительно оси , то и 
.
Тогда 
, 
. Точки и симметричны относительно оси , а значит, их ординаты равны, а абсциссы противоположны по знаку. Можем записать, что 
, а 
.
При решении данной задачи мы выяснили, что 
, 
. Эти равенства являются верными, так как при повороте точки на угол на угол , 
получается та же самая точка, что и при повороте на угол . Тогда справедливы следующие формулы: 
, 
, 
.
Также при решении задачи мы получили, что 
, 
. Эти равенства являются частными случаями формул: 
, 
. Давайте докажем эти формулы.
Итак, докажем формулу . Применим к левой части формулу : 
[подставим значения 
и 
] 
. Формула доказана.
Докажем формулу . Для этого применим к левой части формулу : 
[подставим значения и ] 
.
Доказанные формулы 
называются формулами приведения. Вообще для синуса формулами приведения являются следующие формулы: 
, 
, , 
, 
, 
. Шесть следующих формул являются формулами приведения для косинуса: 
, 
, , 
, 
, 
. Отметим, что все эти формулы справедливы при любых значениях . И каждую из них легко можно доказать с помощью формул сложения для синуса и косинуса аналогично тому, как мы доказали формулы .
Давайте вычислим 
и 
. В первом примере 
[по первой формуле из формул 
] 
[
] 
[] 
.
Вычислим . 
[по второй формуле из формул ] 
.
А есть формулы приведения для тангенса и котангенса? Для тангенса и котангенса тоже есть формулы приведения, то есть вычисление тангенса и котангенса любого угла может быть сведено к вычислению тангенса и котангенса острого угла. Воспользовавшись определением тангенса и формулами , можем записать, что 
, . Теперь запишем 
[воспользуемся формулами приведения: , 
] 
. Следовательно, можем сделать вывод, что 
, 
.
Аналогичным образом можно доказать, что 
, 
.
Следующие формулы являются формулами приведения для тангенса: 
, 
; котангенса: 
, 
. Эти формулы имеют место при всех допустимых значениях . Чтобы доказать эти формулы, достаточно воспользоваться формулами 
и 
, то есть формулами приведения для синуса и косинуса. Так, например, 
[, ] 
.
Таким же образом можно доказать каждую из формул 
и 
.
Давайте вычислим 
и 
. Итак, 
[по формуле 
] 
.
Теперь вычислим . 
[по формуле 
] 
.
Отметим, что запоминать формулы приведения совсем не обязательно. Чтобы записать любую из формул, можно применять следующие правила: 1) в правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии, что 
. 2) Если в левой части угол равен 
или 
, то синус заменяется на косинус, косинус – на синус, тангенс – на котангенс, котангенс – на тангенс. Если угол равен 
, то замены не происходит. Эти правила облегчают запоминание формул, поэтому их называют мнемоническими правилами.
Так, например, воспользуемся этими правилами, чтобы записать формулу приведения для выражения 
. Если , то 
. Синус в третьей четверти принимает отрицательные значения. Тогда по первому правилу в правой части формулы нужно поставить знак «
». В левой части угол равен 
, а значит, по второму правилу синус надо заменить на косинус. Следовательно, получаем, что .
Рассмотренные формулы , , , а также формулы приведения позволяют нам свести вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к вычислению их значений для острого угла.
А сейчас давайте выполним задание. Вычислите: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Решение.
