Сравнение дробей

Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.

Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.

Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются операциями отношения, такими как больше (>) или меньше (<).

Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.

Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.

Например, сравним дроби 1612 и  1611 и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби  1612 числитель больше, чем у дроби  1611. Значит дробь 1612  больше, чем 1611 . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)

1613

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. 1612 пиццы больше, чем 1611 пиццы:

1614

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.


Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Например, сравним дроби 1621 и 1622. У этих дробей одинаковые числители. У дроби 1621 знаменатель меньше, чем у дроби 1622. Значит дробь 1621 больше, чем дробь 1622. Так и отвечаем:1623

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. 1621 пиццы больше, чем 1622 пиццы:

 1624

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.


Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Например, сравнить дроби пять вторых и две третьих. Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.

Приведём дроби пять вторых и две третьих к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей пять вторых и две третьих это число 6.

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби пять вторых. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

1631

Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби две третьих. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:

1632

Умножим дроби на свои дополнительные множители:

1633

Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:

1634

Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему 1636 больше, чем 1637. Для этого выделим целую часть в дроби 1636. В дроби 1637 ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.

После выделения целой части в дроби 1636, получим следующее выражение:

1638

Теперь можно легко понять, почему 1636 больше, чем 1637.  Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:

1635

2 целые пиццы и 1639 пиццы, больше чем 1637 пиццы.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Сравнить дроби:
Задание 2. Сравнить дроби:
Задание 3. Сравнить дроби:
Задание 4. Сравнить дроби: