Конспект урока
Окружающий нас мир наполнен разнообразными колебательными движениями и процессами: колеблется поплавок на поверхности воды и кузов проезжающего автобуса, колеблются крылья пролетающих мимо бабочек и птиц. Работу большинства электрических бытовых приборов обеспечивает переменный ток, то есть колебательное движение электронов в проводниках. Кроме того, многие важнейшие процессы внутри организма человека являются колебательными: так сердце человека в спокойном состоянии совершает около одного колебательного движения в секунду, а процесс дыхания обеспечивается колебательными движениями лёгких и так далее.
Колебательные процессы изучаются и используются во многих сферах деятельности человека: в радиотехнике и связи, автомобиле- и самолётостроении, медицине, биологии и химии.
Но при всём разнообразии этих движений у них есть одна общая и очень важная черта: через определённый промежуток времени движение любого из этих тел повторяется.
Процесс, при котором какая-либо физическая величина, характеризующая этот процесс, последовательно изменяется то в одну, то в другую сторону около некоторого своего среднего значения мы с вами будем называть колебаниями.
Подчеркнём, что по своей природе колебания могут быть не только механическими, но и электромагнитными (соответствуют изменениям напряжения и силы тока в электрической цепи), термодинамическими (соответствуют периодическим изменениям температуры системы с течением времени) и так далее.
Совокупность тел, в которой могут происходить колебательные процессы, мы с вами будем называть механической колебательной системой.
Давайте с вами вспомним, что силы, действующие между телами системы называются внутренними силами. А силы, действующие на тела системы со стороны сторонних тел, называются внешними силами.
Самым простым видом колебательным движением являются свободные колебания, то есть колебания, происходящие в системе только под действием внутренних сил, после того как система выведена из положения равновесия и предоставленная затем самой себе.
Результаты экспериментов показывают, что для возникновения и существования свободных колебаний необходимо выполнение определённых условий.
Прежде всего, в системе необходимо наличие положения устойчивого равновесия системы. Так, свободные колебания возникнут в системе, изображённой на верхнем левом рисунке. В двух других случаях они не возникнут.
Во-вторых, тело (или материальная точка) должно обладать избыточной механической энергии по сравнению с его энергией в положении устойчивого равновесия.
В-третьих, при выведении тела из положения равновесия в системе должна возникать результирующая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (в нашем примере таковой является равнодействующая сил тяжести и нормальной реакции опоры).
Кроме того, в колебательной системе не должно быть большого трения (в идеале, конечно, его не должно быть вовсе), поскольку в этом случае колебания быстро затухнут (вследствие потери энергии) или не возникнут.
Вообще, понятие колебательной системы довольно обширное и оно применимо к разнообразным явлениям. Вы знаете, что для упрощённого рассмотрения тех или иных явлений в науке часто пользуются идеальными моделями. Для колебательных систем такими моделями являются маятники.
В общем случае маятником называется твёрдое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или вокруг оси.
Существует несколько видов маятников. Но наиболее часто встречающиеся, это пружинный маятник, представляющий собой груз, прикреплённый к пружине, и способный совершать колебания вдоль горизонтальной или вертикальной оси.
И нитяной маятник — это шарик, подвешенный на нити, способный совершать колебательное движение.
Колебания — это особая форма движения в том смысле, что различные по своей природе физические процессы описываются одинаковыми математическими зависимостями физических величин от времени.
Рассмотрим процесс колебаний горизонтального пружинного маятника, в котором груз продет через тонкий металлический стержень, расположенный вдоль оси пружины. Для простоты, будем считать, что что сила трения между грузом и стержнем пренебрежимо мала. Вся система находится в равновесии, а внешние силы — сила тяжести и сила нормальной реакции стержня, уравновешивают друг друга.
Направим координатную ось параллельно стержню, а за начало отсчёта примем центр тяжести тела в положении равновесия.
Приложив внешнюю силу, выведем маятник из равновесия, немного растянув пружину. В пружине возникнет сила упругости, которая будет стремиться вернуть маятник в положение равновесия.
Если мы уберём воздействие внешней силы, то система придёт в движение и груз начнёт двигаться влево с некоторым ускорением, а сила упругости будет уменьшаться. Дойдя до положения равновесия сила упругости исчезнет, как и (согласно второму закону Ньютона), ускорение маятника. Но к этому моменту его скорость достигнет максимума и не останавливаясь по инерции груз продолжит движение вправо. Пружина начнёт сжиматься и в ней вновь возникнет сила упругости, но направленная уже вправо. Следовательно, возникнет и ускорение, направленное туда же, куда и сила упругости — против скорости движения маятника. Поэтому со временем маятник остановится в крайнем левом положении. Здесь действующая на маятник сила упругости принимает своё максимальное значение, как, впрочем, и ускорение. Поэтому маятник вновь придёт в движение и будет двигаться вправо, пройдя в обратном направлении через те же промежуточные положения. Дойдя до крайнего правого положения маятник совершит одно полное колебание. Если бы в нашей системе отсутствовали силы сопротивления, то такое движение маятника продолжалось бы бесконечно долго.
Получим уравнение движения нашего маятника. Для этого запишем уравнение движение груза под действием силы упругости вдоль оси икс:
Из механики мы с вами знаем, что проекция силы упругости прямо пропорциональна смещению тела:
Перепишем второй закон Ньютона с учётом последней формулы:
Выразив из полученного равенства ускорение груза, тем самым мы получим уравнение, описывающее колебание тела под действием силы упругости:
Данное выражение называют динамическим уравнением движения пружинного маятника.
И давайте ещё получим уравнение движение математического маятника — физической модели обычного нитяного маятника.
И так, пусть в момент начала наблюдения маятник находится в положении равновесия. В этой точке на него действуют всего две силы — сила упругости нити и сила тяжести точки, которые уравновешивают друг друга.
Приложив внешнюю силу, выведем маятник из равновесия и отпустим его. Теперь сила тяжести не может уравновесить силу упругости нити и в системе возникнет возвращающая сила, являющаяся тангенциальной составляющей силы тяжести. А её нормальная составляющая будет направлена вдоль нити против силы упругости. Она будет менять направление вектора скорости материальной точки.
Возвращающая сила будет сообщать материальной точке тангенциальное ускорение, и маятник начнёт двигаться по дуге окружности к положению равновесия с возрастающей по модулю скоростью. Чем ближе материальная точка подходит к положению равновесия, тем меньше становиться значение возвращающей силы и модуля ускорения. Однако при этом возрастает скорость точки. Дойдя до положения равновесия, возвращающая сила, а, следовательно, и тангенциальное ускорение точки обращаются в ноль. Но вот её скорость достигает максимума. Поэтому, не останавливаясь, маятник продолжает своё движение по дуге вверх по инерции. При этом вновь возникает возвращающая сила, которая становится тем больше, чем выше поднимается маятник. Но теперь эта сила направлена против движения маятника и постепенно уменьшает его скорость. Достигнув крайнего левого положения скорость маятника становится равной нулю, а возвращающая сила и ускорение достигают своего максимального значения.
Маятник на мгновение замирает, а затем начинает двигаться в обратном направлении, пройдя через те же промежуточные положения пока не достигнет исходной точки. А так как силы сопротивления отсутствуют, то после этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности
Теперь предположим, что в некоторый момент времени маятник находится в некоторой точке В, а его смещение от положения равновесия равно длине дуги ОВ. Пусть длина нити подвеса маятника равна l, а его масса m. Из рисунка видно, что значение возвращающей силы, можно найти как произведение модуля силы тяжести на синус угла альфа:
где α — это угол отклонения маятника от положения равновесия, равный отношению смещения маятника к длине нити подвеса:
Ранее предполагалось, что углы отклонения нити маятника от вертикали могут быть любыми. В дальнейшем же мы будем считать их малыми. А при малых углах, если угол измерен в радианах, синус этого угла можно заменить его градусной мерой:
Перепишем уравнение для тангенциальной составляющей силы тяжести с учётом последнего равенства:
Обратите внимание на знак «минус» в этой формуле. Его здесь ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия.
Запишем второй закон Ньютона для нашего маятника, в проекциях на направление касательной к траектории его движения:
Теперь приравняем правые части последних двух равенств:
Сократив полученное выражение на массу маятника, приходим к тому, что тангенциальное ускорение математического маятника прямо пропорционально его смещению и направлено к положению равновесия:
Эту формулу называют динамическим уравнением движения математического маятника. Оно имеет такой же вид, что и для пружинного маятника. Это означает, что движения обоих маятников происходят одинаковым образом и изменяются со временем по одному и тому же закону несмотря на то, что силы, вызывающие колебания, имеют разную физическую природу.
Теперь зная, как связаны между собой ускорение и координата колеблющегося тела, можно найти зависимость координаты от времени. Для этого давайте с вами рассмотрим равномерное вращение материальной точки по окружности известного радиуса. Пусть рассматриваемое движение происходит против хода часовой стрелки. Выберем систему координат ХОY так, как это показано на рисунке.
Теперь предположим, что через некоторый промежуток времени Δt материальная точка повернулась на угол φ. Давайте вспомним, что придвижении по окружности материальная точка обладает линейной скоростью, направленной по касательной в каждой точке траектории, и центростремительным ускорением, направленным всегда по радиусу к центру окружности. Спроецируем на ось OX радиус-вектор движущейся точки, её линейную скорость и центростремительное ускорение.
Проекция радиус-вектора в положении «Эм» (М) (это точка В) является смещением материальной точки от центра окружности вдоль оси Ох. Следовательно, на выбранной оси этому смещению соответствует координата х точки В.
Поскольку при равномерном вращении точки по окружности её координата (смещение) будет периодически изменяться от xmin = –R до хmax = +R, то можно сказать, что точка В совершает колебательное движение вдоль оси Ох, а её координата х является координатой колеблющейся точки.
Соответственно будут изменяться и проекция линейной скорости (от +υ0 = ωR до –υ0 = –ωR) и проекция центростремительного ускорения материальной точки (от +a0 = ω2R до –a0 = ω2R).
Теперь вспомним, что угол поворота материальной точки при её движении по окружности можно найти, как произведение угловой скорости точки и времени поворота:
Так как при равномерном вращении по окружности линейная скорость направлена по касательной, а центростремительное ускорение — к центру окружности, то изменение координаты, проекции скорости и центростремительного ускорения материальной точки будут описываться уравнениями, которые вы сейчас видите на экране:
Перепишем данные уравнения, выразив начальную скорость и ускорение точки через угловую скорость:
Поскольку функции синуса и косинуса являются периодическими, то через промежуток времени, равный периоду, все характеристики движения точки В вдоль оси Ох примут прежние значения, то есть значения характеристик периодически повторяются. А как мы говорили на прошлом уроке, повторяемость — это основной признак периодического движения.
Обратим внимание на то, что проекция ускорения точки B в любой момент времени пропорционально смещению и противоположно ей по знаку:
Перепишем это равенство так, как это показано на экране:
Колебания, описываемые полученным уравнением, называются гармоническими, а система, совершающая такие колебания, — гармонической колебательной системой, или гармоническим осциллятором.
Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса:
Термин «гармонические колебания» впервые был введён в науку швейцарским физиком Даниилом Бернулли.
В записанных уравнениях φ0 — это начальная фаза колебаний, которая определяет состояние колебательной системы в начальный момент времени.
xmax — это максимальное смещение материальной точки от положения устойчивого равновесия, называемое также амплитудой колебаний:
Она определяется энергией, которую сообщают точке в начальный момент времени.
ω — это циклическая частота. Она показывает, какое число полных колебаний материальная точка совершает за 2π секунд:
Наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание, называется периодом колебаний:
А число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний:
Так как в СИ единицей периода колебаний является секунда, то единицей частоты в СИ служит с–1. Она носит название герц в честь первооткрывателя электромагнитных волн Генриха Герца.
С учётом определения периода и частоты колебаний, можно получить ещё две формулы для определения циклической частоты:
Ещё одной важной характеристикой гармонических колебаний является их фаза. Фазой колебания называется аргумент периодической функции, определяющий значение физической величины в любой момент времени. Единицей фазы в СИ является радиан.
Зависимость координаты точки от времени называется кинематическим законом (или уравнением) гармонических колебаний, поскольку позволяет определить положение точки, её скорость и ускорение в произвольный момент времени.
Скорость будет являться первой производной смещения по времени:
А ускорение — это первая производная скорости по времени или вторая производная смещения по времени:
Теперь давайте сравним уравнение гармонических колебаний с динамическими уравнениями математического и пружинного маятников, полученные нами на прошлом уроке:
Не трудно заметить, что вот эти вот величины, являются квадратом циклической частоты маятников. Извлекая квадратный корень из этих двух выражений, найдём формулы, по которым можно рассчитать циклические частоты математического и пружинного маятников:
Учитывая, что период колебаний обратно пропорционален циклической частоте (T = 2π/ω), получим формулы для определения периода колебаний пружинного и математического маятников:
Как видно из формул, период, а, следовательно, и частота колебаний пружинного маятника не зависят от амплитуды его колебаний (в пределах выполнимости закона Гука). Он определяется лишь массой груза и жёсткостью пружины.
А период и частота математического маятника не зависят от массы маятника и амплитуды его колебаний, а определяются только его длиной и модулем ускорения свободного падения.
Кстати, впервые формулу для периода математического маятника получил ученик Исаака Ньютона Христиан Гюйгенс. Поэтому она называется формулой Гюйгенса.
Давайте с вами для примера определим амплитуду, циклическую частоту, период и начальную фазу колебаний тела массой пол килограмма, подвешенного к вертикальной пружине, если известно, что в состоянии покоя тело растягивает пружину на расстояние 5 мм и для возбуждения колебаний его смещают вниз на расстояние 20 мм от положения равновесия и отпускают.
В заключении урока отметим, что гармонические колебания полностью подчиняются закону сохранения энергия. Полная механическая энергия при гармонических колебаниях равна сумме кинетической и потенциальной энергий колебательной системы:
При этом, если в колеблющейся системе отсутствуют силы сопротивления, то её полная механическая энергия остаётся неизменной. Она равна либо потенциальной энергии в момент максимального отклонения от положения равновесия, либо же кинетической энергии в момент, когда тело проходит положение равновесия.
Решите задачи
