С понятием квадратного корня из числа а вы уже знакомы: это такое число, квадрат которого равен а.
,
,
, 
Аналогично определяется корень 
-й степени из числа а, где
– произвольное натуральное число.
А теперь давайте решим такое уравнение:
Итак, это уравнение мы можем переписать в таком виде: 
. Или 
.
Тогда наше уравнение равносильно совокупности уравнений: 
.
Понятно, что уравнение 
не имеет решения на множестве действительных чисел. Значит, остаётся решить уравнение
Итак, наше уравнение имеет два действительных корня 5 и –5. Их называют корнями четвёртой степени из числа 625. В свою очередь, положительный корень (число 5) называют арифметическим корнем четвёртой степени из числа 625. Обозначают его так: 
. Таким образом, 
.
Запомните! Арифметическим корнем натуральной степени 
из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, -я степень которого равна а.
Арифметический корень –ой степени из числа а обозначают так: 
. Символ называют знаком арифметического квадратного корня или радикалом (от латинского слова «радикс» – корень), число 
называется показателем корня, а число а, стоящее под знаком корня, – подкоренным выражением.
Вам хорошо известен такой частный случай арифметического корня -й степени, как корень второй степени, или квадратный корень из числа, то есть когда 
В этом случае показатель корня не пишут, а пишут просто
.
Ещё одним частным случаем является
мы привыкли называть его корнем кубическим.
Как правило, когда ясно, что речь идёт об арифметическом корне -й степени, слово «арифметический» не произносят, а говорят кратко: «корень энной степени».
Действие, посредством которого отыскивается корень -й степени, называется извлечением корня 
-й степени. Это действие является обратным действию возведения в -й степень.
Равенство 
при верно, когда выполняются два условия:
; второе —
.
Например,
.
Число
;
.
Видим, что оба условия выполняются. Значит
верно.
Из определения арифметического корня следует, что если
, то
.
Например,
А теперь давайте решим следующие уравнения: 
и 
. Итак, первое уравнение
Перепишем это уравнение в виде: 
.
Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов. Имеем:
Перейдём к уравнению 2:
Перепишем это уравнение в виде: 
.
Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов. Имеем:
.
Так как 
, то число –4 является корнем из числа –64. Однако это число не является арифметическим корнем по определению. Число 
называют корнем кубическим из числа 
и обозначают так:
Вообще, для любого нечётного натурального числа
, уравнение
, при 
имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень обозначается, как и арифметический корень, символом
.
И называют его корнем нечётной степени из отрицательного числа.
Запомните! При нечётном 
существует
, и притом только один. Для корней нечётной степени справедливо равенство 
Например,
Корень нечётной степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа 
следующим равенством:
Например, 
Арифметический корень -й степени обладает несколькими свойствами. Перечислим их. Итак, при условии, что
, 
, а
, 
и 
– натуральные числа, причём
, 
, справедливы равенства:
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
Обратите внимание, что в первом свойстве число 
может также быть равным 
; в третьем свойстве число 
может быть любым целым, если 
.
Докажем справедливость этих свойств. Итак, первое свойство.
1. 
.
По определению арифметического корня 
– это такое неотрицательное число, -я степень которого равна произведению 
.
;
.
2. 
.
;
3. 
.
;
.
4. 
.
;
.
5. .
;
.
А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.
Задание 1. Найдите значения выражений а) 
; б) 
; в) 
.
Решение.
а) 
; б) 
; в) 
.
; 
;
; 
;
Задание 2. Преобразуйте выражения: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Решение.
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Пройдите тест
Ответ записываем в виде числа, без пробелов, букв и т.д.
Тест можно пройти всего 1 раз!
