С понятием квадратного корня из числа а вы уже знакомы: это такое число, квадрат которого равен а.

,
,

Аналогично определяется корень -й степени из числа а, где– произвольное натуральное число.

А теперь давайте решим такое уравнение:

Итак, это уравнение мы можем переписать в таком виде: . Или .

Тогда наше уравнение равносильно совокупности уравнений: .

Понятно, что уравнение  не имеет решения на множестве действительных чисел. Значит, остаётся решить уравнение

            

                  

Итак, наше уравнение  имеет два действительных корня 5 и –5. Их называют корнями четвёртой степени из числа 625. В свою очередь, положительный корень (число 5) называют арифметическим корнем четвёртой степени из числа 625. Обозначают его так: . Таким образом, .

Запомните! Арифметическим корнем натуральной степени  из неотрицательного числа а называется неотрицательное число,  -я степень которого равна а.

Арифметический корень ой степени из числа а обозначают так: . Символ  называют знаком арифметического квадратного корня или радикалом (от латинского слова «радикс» – корень), число называется показателем корня, а число а, стоящее под знаком корня, – подкоренным выражением.

Вам хорошо известен такой частный случай арифметического корня -й степени, как корень второй степени, или квадратный корень из числа, то есть когда 

В этом случае показатель корня не пишут, а пишут просто.

Ещё одним частным случаем является мы привыкли называть его корнем кубическим.

Как правило, когда ясно, что речь идёт об арифметическом корне -й степени, слово «арифметический» не произносят, а говорят кратко: «корень энной степени».

Действие, посредством которого отыскивается корень -й степени, называется извлечением корня  степени. Это действие является обратным действию возведения в -й степень.

Равенство  при  верно, когда выполняются два условия:; второе —.

Например,.

Число;

.

Видим, что оба условия выполняются. Значит верно.

Из определения арифметического корня следует, что если, то.

Например,

А теперь давайте решим следующие уравнения:  и . Итак, первое уравнение

Перепишем это уравнение в виде: .

Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов. Имеем:

Перейдём к уравнению 2:

Перепишем это уравнение в виде: .

Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов. Имеем:.

Так как , то число –4 является корнем из числа –64. Однако это число не является арифметическим корнем по определению. Число называют корнем кубическим из числа и обозначают так:

Вообще, для любого нечётного натурального числа, уравнение, при  имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень обозначается, как и арифметический корень, символом.

И называют его корнем нечётной степени из отрицательного числа.

Запомните! При нечётном существует, и притом только один. Для корней нечётной степени справедливо равенство 

Например,

Корень нечётной степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа следующим равенством:

Например,  

Арифметический корень -й степени обладает несколькими свойствами. Перечислим их. Итак, при условии, что, а и  – натуральные числа, причём, справедливы равенства:

1.  .

2. .

3. .

4. .

5. .

Обратите внимание, что в первом свойстве число  может также быть равным ; в третьем свойстве число  может быть любым целым, если .

Докажем справедливость этих свойств. Итак, первое свойство.

1. .

По определению арифметического корня  – это такое неотрицательное число,  -я степень которого равна произведению .

;

.

2. .

;

3. .

;

.

4. .

;

.

5. .

;

.

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание 1. Найдите значения выражений а) ;     б) ;     в) .

Решение.

а) ;                            б) ;               в) .

;                                       ;

;                                  ;

Задание 2. Преобразуйте выражения: а) ;     б) ;     в) ;     г) .

Решение.

а) ;

б)   ;

в) ;

г) .

Пройдите тест

Ответ записываем в виде числа, без пробелов, букв и т.д.

Тест можно пройти всего 1 раз!

Начать