Для начала решим задачу, которая поможет повторить всё, что мы знаем о векторах.
Итак, ABCD — параллелограмм.
Нам предстоит назвать все векторы, которые изображены на рисунке, и указать среди них: равные по длине, коллинеарные, сонаправленные, противоположно направленные, равные и векторы сонаправленные вектору ОО.
Чтобы назвать векторы, изображённые на рисунке, повторим определение понятия вектора.
Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом, называется направленным отрезком или вектором.
На рисунках вектор изображают в виде отрезка со стрелкой, показывающей направление вектора.
Называют векторы двумя заглавными буквами со стрелкой над ними. При этом первая буква обозначает начало вектора, а вторая — конец.
По порядку назовём изображённые векторы: 
, 
, 
, 
Далее среди них найдём равные по длине. Стоит вспомнить, что длиной ненулевого вектора 
называется длина отрезка AB.
Пользуясь тем, что перед нами параллелограмм, можем сказать, что его противоположные стороны равны. А также диагонали точкой пересечения делятся пополам.
А значит, равны длины векторов 
.
Теперь укажем коллинеарные векторы. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых.
Мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма не только равны, а ещё и параллельны. Поэтому коллинеарными будут векторы и 
.
Ну, а векторы и коллинеарны, так как лежат на одной прямой.
Далее нам предстоит отыскать сонаправленные и противоположно направленные векторы.
Сонаправленными называют ненулевые коллинеарные векторы с одинаковыми направлениями.
Противоположно направленными называют ненулевые коллинеарные векторы с противоположными направлениями.
В обоих случаях векторы должны быть коллинеарны.
Мы же с вами указали только две пары коллинеарных векторов. Из них сонаправленными будут векторы и , а противоположно направленными — векторы и .
Далее вспомним определение равных векторов. Векторы называют равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Ранее нами указана только одна пара сонаправленных векторов, между тем их длины равны. Значит, вектор 
.
В последнем пункте укажем векторы сонаправленные вектору ОО.
Такой вектор на рисунке не изображён, но с прошлых уроков вам известно понятие нулевого вектора.
Любая точка плоскости является нулевым вектором. Длина любого нулевого вектора равна нулю.
Так как начало и конец у такого вектора совпадают, то у него нет определённого направления и его можно задать любым направлением. Поэтому нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору.
Тогда мы можем сказать, что каждый из векторов , , , сонаправлен вектору ОО.
В ходе выполнения данного задания мы повторили всё, что знаем о векторах. Теперь приступим к изучению новой темы.
Если точка А является началом вектора А, то говорят что вектор А отложен от точки А.
Имеет место следующее утверждение. От любой точки 
можно отложить вектор, равный данному вектору 
, и притом только один.
Доказательство.
Рассмотрим два случая.
1. 
, то искомым, равным ему, вектором будет вектор 
.
2. 
, а точки А и B — его начало и конец, то через точку М проведём прямую p параллельную AB: 
.
Теперь отложим отрезки MN и MN’, равные отрезку AB: 
.
Из построения видно, что такой вектор только один.
Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой.
Поэтому вектор 
можно обозначить как вектор 
.
Про такие векторы можно сказать, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.
Отложить векторы, равные ненулевому вектору , от каждой из вершин 
.
Для этого через каждую вершину проведём прямые параллельные вектору .
По каждую сторону от точек А, B и C на этих прямых отложим отрезки равные длине вектора . Таким образом получим по два вектора у каждой из вершин.
Но один из них будет сонаправлен вектору , а другой — противоположно направлен.
Нам подойдут вектора сонаправленные вектору .
Так мы отложили от каждой вершины треугольника ABC векторы, равные вектору .
Задача. От точки 
необходимо отложить вектор:
а) равный вектору 
;
б) сонаправленный вектору 
;
в) противоположно направленный вектору 
.
Отложим от К вектор равный вектору . Для этого через точку К проведём прямую a, параллельную вектору .
От точки К на данной прямой отложим отрезки, длины которых равны длине вектора . Получаем два вектора. Выберем тот, который сонаправлен с вектором .
Так мы отложили от точки К вектор, равный вектору . Можем его так же обозначить как вектор .
Далее отложим от точки К вектор сонаправленный с вектором .
.
Последним необходимо от точки К отложить вектор противоположно направленный вектору .
Перейдём к решению последней задачи.
Задача. Диаметр 
и хорда 
окружности образуют угол в 
, а радиус окружности равен 
. Внутри данной окружности выбрана точка и от неё отложены векторы 
и 
равные векторам 
и соответственно. Найти 
.
Решение.
1. 
(
)
(
)
2. 
: 
(
)
(
)
3. 
3. 
4. 
односторонние при 
односторонние при 
5. 
.
6. :
7. 
8. 
Подведём итоги нашего урока.
Сегодня вы узнали, что от любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Про такие векторы можно сказать, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.
