Урок№19. Синус, косинус, тангенс, котангенс углов от 0о до 180. Основное тригонометрическое тождество. 

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg²α + 1 = 1/cos²α и равенство 1 + сtg²α + 1 = 1/sin²α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin²α и cos²α.

В результате деления получаем:

Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.

sin²α + cos²α = 1Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Докажем тождество sin²α + cos²α = 1

Итак, нам известны координаты точки A (1; 0).

Произвольный угол α, тогда cos α = x0 = ОB.

Если развернуть точку A на угол α, то точка A становится на место точки A₁.

По определениям:

• Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Это значит, что точка A₁ получает координаты cos α, sin α.

Опускаем перпендикулярную прямую A₁B на x0 из точки A₁.

Образовался прямоугольный треугольник OA₁B.

|A₁B| = |у|

|OB| = |x|.

Гипотенуза OA₁ имеет значение, равное радиусу единичной окружности.

|OA₁| = 1.

Применяя полученное выражение, записываем равенство по теореме Пифагора, поскольку получившийся угол — прямой:

|A₁B|² + |OB|² = |OA₁|².

Записываем в виде: |y|² + |x|² = 1².

Это значит, что y² + x² = 1.
sin угла α = y
cos угла α = x

Вставляем данные угла вместо координат точек:

OB = cos α
A₁B = sin α
A₁O = 1

Получаем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.
Что и требовалось доказать.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

• sin α = ±
• cos α = ±

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Немного вводных:

• Синус угла  — это ордината y.
• Косинус угла  — это абсцисса x.
• Тангенс угла  — это отношение ординаты к абсциссе.
• Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

• tg α =
• ctg α =

Исходя из определений:

• tg α ==
• ctg α ==

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

• Например,  выражениеприменимо для любого угла α, не равного+ π + z, где z — это любое целое число. В противном случае, в знаменателе будет стоять 0.

Выражение

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.

• Тождество записывается в следующем виде:
  tg α * ctg α = 1.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

По определению:

tg α = y/x

ctg α = x/y

Отсюда следует, что tg α * ctg α = y/x * x/y = 1

Преобразовываем выражение, подставляем и,
получаем:

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла  — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

• tg²α + 1 =

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

• 1 + ctg²α =

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin²α + cos²α = 1.

Для этого нужно поделить обе части тождества на cos²α, где косинус не равен нулю.

В результате деления получаем формулу tg²α + 1 =

Если обе части основного тригонометрического  тождества sin²α + cos²α = 1 разделить на  sin²α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
1 + ctg²α =.

Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg²α + 1 =применимо для любого угла α, не равного+ π + z, где z — это любое целое число.

А тригонометрическое тождество 1 + ctg²α =применимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

Основные тригонометрические тождества

1 sin2α + cos2α = 1 2 3 4 tgα * ctgα = 1 5 tg2α + 1 = 6 1 + ctg2α =

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Как решаем:

 

Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:

 

Выражаем cos α из тригонометрической единицы:

 

Далее подставляем значения sin α:

 

Вычисляем:

 

Нам известны значения sin α и cos α, поэтому можно легко найти тангенс, используя формулу:

 

Таким же образом, используя формулу, вычисляем значение котангенса:

Ответ:

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:

Как решаем:

Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:

Выражаем cos α из тригонометрической единицы:

Далее подставляем значения sin α:

Вычисляем:

То же самое проделываем со вторым значение sin α

Подставляем значения sin α:

Вычисляем:

Ответ:

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Пройдите тест