Всем привет!
Знаете ли вы, сколько всего существует арифметических действий? Все знают, что четыре. Мы разобрали сложение, вычитание и умножение, остаётся познакомиться с делением. Сегодня рассмотрим деление многочлена на одночлен.
Для начала, можно ли разделить одночлен на одночлен? Вспомним, что одночлен – это произведение чисел и букв. Т.е. если мы разделим произведение на произведение, то получится какая-то дробь. Хотелось, чтобы после деления одночлена на одночлен получился одночлен. Так вот, это будет происходить не всегда.
Разберёмся на примере.
Пример 1:
7х2у : ху
Здесь деление выполнить просто: х2 : х, а у : у, получаем
7х2у : ху = 7х – одночлен, значит деление в данном примере возможно.
Пример 2:
3х3у5z : 2x2y3
3:2 = 1,5
х3 : х2 = x
y5 : y3 = y2
Получаем:
3х3у5z : 2x2y3 = 1,5хуz – одночлен, выполнение деления возможно.
Пример 3:
5х4 : ху = 5х3/у – это не одночлен.
Сформулируем правило:
Чтобы разделить один одночлен на другой, необходимо отдельно разделить коэффициент первого одночлена на коэффициент второго и отдельно разделить по каждой букве.
Замечание: результат будет являться одночленом не всегда. Степень вхождения каждой буквы в первый одночлен делимого должна быть не меньше степени вхождения каждой буквы второго одночлена делителя.
А что делать, если мы делим многочлен на одночлен? Всё аналогично умножению. Каждый член многочлена нужно разделить на этот одночлен, полученные частные сложить.
Пример 4:
Выполнить деление
(4х3у – 3х2у2 + 2ху5) : (–7ху)
1. 4х3у: (–7ху) = –4/7х2
2. – 3х2у2 : ( –7ху) = 3/7ху
3. 2ху5: (–7ху) = –2/7у4
(4х3у – 3х2у2 + 2ху5) : (–7ху) = –4/7х2 + 3/7ху – 2/7у4
Получившиеся выражение – многочлен, потому что все члены удовлетворяли замечанию, указанному выше.
Пример 5:
Представить многочлен в виде произведения двух многочленов:
(5ху + 3ху2 + 2х3у) = 2ху ⋅ ___________
Умножение проверяется делением, поэтому, для того чтобы найти неизвестный многочлен, произведём деление:
(5ху + 3ху2 + 2х3у) : 2ху = 2,5 + 1,5у + х2 – искомый многочлен.
Можно выполнить проверку, для этого выполнить умножение:
(2,5 + 1,5у + х2) ⋅ 2ху = 5ху + 3ху2 + 2х3у
Действие выполнено верно.
Пример 6:
Каким может быть натуральное число n, чтобы в результате деления получился многочлен
(7x5y2-3xy7+2x2y4):(5xyn)?
Здесь нам опять придётся использовать замечание. Мне нужно, чтобы каждый одночлен моего многочлена в скобках разделился на 5хуn. Следуя замечанию, смотрим на степени одночленов. С х всё понятно, здесь всё удовлетворяет замечанию, вопрос со степенью у. Во-первых, у2 должен разделиться на уn, значит n ≤ 2, у7 должен разделиться на уn, значит n ≤ 7, у4 должен разделиться на уn, значит n ≤ 4. Значит ответ 1 или 2.
Итак, сегодня мы познакомились с последним, четвёртым действием. Мы поговорили о том, как одночлены и многочлены делить на одночлены. Выяснили, что разделить можно не всегда. Записали критерий, когда это возможно и разобрали примеры. На этом большой блок с одночленами и многочленами заканчивается. В следующей большой теме мы будем применять эти действия на конкретных практических задачах.
Спасибо!
Пройдите тест