Формулировка темы урока
Рассмотрим формулу квадрата суммы:
.
Выведение и доказательство формулы квадрата суммы
Итак, мы вывели формулу квадрата суммы:
.
Словесно эта формула выражается так: квадрат суммы равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
Данную формулу легко представить геометрически.
Рассмотрим квадрат со стороной 
:
– площадь квадрата.
С другой стороны, этот же квадрат можно представить иначе, разбив сторону на а и b (рис. 1).
Рис. 1. Квадрат
Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:
.
Поскольку квадраты были одинаковы, то их площади равны, значит:
.
Итак, мы доказали геометрически формулу квадрата суммы.
Решение примеров на формулу квадрат суммы
Рассмотрим примеры:
Пример 1:
.
Комментарий: пример решен с применением формулы квадрата суммы.
Пример 2:
.
Пример 3:
+1.
Выведение формулы квадрата разности
Выведем формулу квадрата разности:
.
Итак, мы вывели формулу квадрата разности:
.
Словесно эта формула выражается так: квадрат разности равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
Решение примеров на формулу квадрат разности
Рассмотрим примеры:
Пример 4:
.
Пример 5:
.
Пример 6:
.
Формулы квадрата суммы и квадрата разности могут работать как слева направо, так и справа налево. При использовании слева направо это будут формулы сокращенного умножения, они применяются при вычислении и преобразовании примеров. А при использовании справа налево – формулы разложения на множители.
Рассмотрим примеры, в которых нужно разложить заданный многочлен на множители, применяя формулы квадрата суммы и квадрата разности. Для этого нужно очень внимательно посмотреть на многочлен и определить, как именно его правильно разложить.
Решение примеров на разложение многочлена на множители
Пример 7:
.
Комментарий: для того, чтобы разложить многочлен на множители, нужно определить, что представлено в данном выражении. Итак, мы видим квадрат 
и квадрат единицы. Теперь нужно найти удвоенное произведение – это 
. Итак, все необходимые элементы есть, нужно только определить, это квадрат суммы или разности. Перед удвоенным произведением стоит знак плюс, значит, перед нами квадрат суммы.
Пример 8:
.
Пример 9:
.
Комментарий: для решения данного примера нужно вынести минус за скобки, чтобы можно было увидеть нужную нам формулу.
Решение различных типовых задач на применение формул квадрата суммы и разности
Перейдем к решению уравнений:
Пример 10:
;
;
;
;
;
.
Комментарий: для решения данного уравнения нужно упростить левую часть, применяя формулу разности квадратов и квадрата разности, после этого привести подобные члены. После этого перенести все неизвестные в левую часть, а свободный член в правую и решить элементарное линейное уравнение.
Пример 11:
Вычислить: 
.
Комментарий: для решения данного примера нужно применить формулы разности квадратов и квадрата суммы, после этого сократить полученную дробь.
Пример 12:
Доказать равенство:
.
Разложим на множители 
:
.
Из каждого множителя вынесем минус единицу за скобки:
.
Мы доказали равенство (a — b)2 = (b — a)2.
Данное равенство является очень полезным при упрощении выражений. Рассмотрим пример.
Пример 13:
Разложить на множители: 
.
Пример 14:
Докажите, что квадрат всякого нечетного числа, уменьшенный на единицу, делится на восемь.
Представим произвольное нечетное число как 
, а его квадрат, соответственно, как 
. Запишем выражение согласно условию:
.
Упростим полученное выражение:
.
Чтобы доказать, что полученное выражение кратно восьми, нам нужно доказать, что оно делится на 2 и на 4. Очевидно, что выражение кратно четырем, так как в нем есть множитель 4. Поэтому нам нужно доказать, что 
делится на 2.
Запись – это произведение двух последовательных чисел, а оно всегда кратно двум, так как из двух последовательных чисел одно всегда будет четным, а второе, соответственно, нечетным, а произведение четного числа на нечетное кратно двум, значит, выражение 
кратно восьми. Итак, мы доказали, что квадрат всякого нечетного числа, уменьшенный на единицу, делится на восемь.
Выводы по уроку
Вывод: на данном уроке мы вывели формулы квадрата суммы и квадрата разности и научились решать самые разнообразные задачи на применение этих формул.
