Признак делимости — это алгоритм, который помогает быстро определить, является ли число кратным заранее заданному. Рассмотрим алгоритмы для чисел от 1 до 10.
Понятие делимости
Признаки делимости чисел — это особенности чисел, которые позволяют определить, кратно число делителю или нет.
Свойства делимости:
Все целые числа делятся на единицу.
Каждое целое число, не равное нулю, делится на натуральное число, равное модулю от данного целого.
Все натуральные числа являются делителями нуля.
Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.
Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.
Единственный делитель единицы — сама единица.
Чтобы целое число a делилось на натуральное число b, необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.
Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.
Свойства делимости можно использовать при решении задач и доказательстве теорем.
Четные числа — это числа, которые делятся на два: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 и т. д. Ноль тоже относится к четным числам.
Нечетные числа — это числа, которые на два не делятся: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 и т. д.
Признаки делимости
Рассмотрим признаки делимости на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Признак делимости на 1
Каждое целое число делится на 1.
Признаки делимости на 2
Число делится на 2, если его последняя цифра четная.
Пример: число 2164 делится на 2, так как последняя цифра (6) — четная.
Признаки делимости на 3
На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.
Пример: число 81 300 делится на 3, так как сумма его цифр 8 + 1 + 3 + 0 + 0 = 12 делится на 3.
Признаки делимости на 4
Число делится на 4, если две последние его цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.
Примеры:
число 37 100 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями;
число 7524 делятся на 4, так как две последние цифры (24) делятся на 4.
Признаки делимости на 5
На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5.
Пример: число 450 делится на 5, так как последняя цифра 0.
Признаки делимости на 6
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.
Примеры:
число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3;
число 861 не делится на 6, так как оно делится на 3, но не делится на 2.
Признаки делимости на 7
Делимость на число 7 можно проверить так:
Последнюю цифру числа умножить на два.
Полученное произведение вычесть от оставшегося числа (без последней цифры).
Полученная разность должна быть кратна 7.
Пример: число 343 делится на 7, так как 34 − (2 · 3) = 28, и 28 делится на 7.
Признаки делимости на 8
На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8.
Пример:
число 11 000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями;
число 12 128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.
Признаки делимости на 9
На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.
Пример: число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.
Признаки делимости на 10
На 10 делятся те числа, которые оканчиваются на ноль или несколько нулей.
Пример:
число 980 делится на 10;
число 462 не делится на 10 — последняя цифра 2.
