Формулировка определения координатной прямой и ее отличий от обычной прямой

Из курса геометрии мы знаем, что такое прямая, но что нужно сделать с обычной прямой, чтобы она стала координатной?

  1. Выбрать точку начала отсчета;
  2. Выбрать направление;
  3. Выбрать масштаб;

На рисунке 1 изображена обычная прямая, а на рисунке 2 – координатная.

Координатной прямой называется такая прямая l , на которой выбрана начальная точка О – начало отсчета, масштаб – единичный отрезок, то есть такой отрезок, длина которого считается равной единице, и положительное направление.

Описание основного свойства координатной прямой и двух основных задач, с ним связанных

Координатную прямую также называют координатной осью или осью Х.

Выясним, зачем нужна координатная прямая, для этого определим ее основное свойство. Координатная прямая устанавливает взаимооднозначное соответствие между множеством всех чисел и множеством всех точек на этой прямой. Приведем примеры:

Заданы два числа:  (знак «+», модуль равен трем) и  (знак «-», модуль равен трем).Изобразим эти числа на координатной прямой:

Здесь число  называется координатой А, число  – координатой В.

Говорят также, что образом числа  есть точка С с координатой , а образом числа  есть точка D с координатой :

Итак, поскольку основное свойство координатной прямой – это установление взаимооднозначного соответствия между точками и числами, то возникает две основные задачи: указать точку по заданному числу, мы это уже сделали выше, и указать число по заданной точке. Рассмотрим пример второй задачи:

Решение примеров

Пример 1:

Пусть дана точка М:

Чтобы определить по данной точке число нужно в первую очередь определить расстояние от начал отсчета до точки. В данном случае расстояние равно двум. Теперь нужно определить знак числа, то есть в каком луче прямой лежит точка М. В данном случае точка лежит справа от начала отсчета, в положительном луче, значит число  будет иметь знак «+».

Пример 2:

Возьмем еще одну точку и по ней определим число:

Расстояние от начала отсчета до точки аналогично предыдущему примеру равно двум, но в данном случае точка лежит слева от начала отсчета, на отрицательном луче, значит точка N характеризует число 

Формулировка основных типовых задач и решение примеров

Все типовые задачи, связанные с координатной прямой, так или иначе связаны с ее основным свойством и двумя основными задачами, которые мы сформулировали и решили.

К типовым задачам относятся:

  • уметь расставлять точки и их координаты;
  • понимать сравнение чисел:

Пример 3:

выражение  означает, что точка С с координатой 4 лежит правее точки М с координатой 2:

И наоборот, если нам задано расположение точек на координатной прямой, мы должны понимать, что их координаты связаны определенным соотношением:

Пример 5:

Пусть заданы точки М(хМ) и N(xN):

Мы видим, что точка М лежит правее точки n, значит, их координаты соотносятся как 

–Определение расстояния между точками.

Пример 6:

Мы знаем, что расстояние между точками Х и А равно модулю числа . пусть даны две точки:

Тогда расстояние между ними будет равно:

-Еще одно очень важная задача – это геометрическое описание числовых множеств.

Пример 7:

Рассмотрим луч, который лежит на координатной оси, не включает свое начало, но включает все остальные точки:

Итак, у нас задано множество точек, расположенных на координатной оси. Опишем множество чисел, которое характеризуется данным множеством точек. Таких чисел и точек бесчисленное множество, поэтому данная запись выглядит так:

или

Сделаем пояснение: при втором варианте записи если ставят круглую скобку «(» значит крайнее число – в данном случае число 3, не включается в множество, если же поставить квадратную скобку «[», то крайнее число включается в множество.

Итак, мы записали аналитически числовое множество, которое характеризует заданное множество точек. аналитическая запись, как мы сказали, выполняется или в виде неравенства, или в виде промежутка.

Пример 8:

Задано множество точек:

В данном случае точка а=3 входит в множество. Опишем аналитически множество чисел:

, 

Обратим внимание, что после или перед знаком бесконечности всегда ставят круглую скобку, так как бесконечности мы никогда не достигнем, а около числа может стоять как круглая скобка, так и квадратная, в зависимости от условий поставленной задачи.

Рассмотрим пример обратной задачи.

Пример 9:

Дана координатная прямая. Изобразить на ней множество точек, соответствующих числовому множеству  и :

Координатная прямая устанавливает взаимооднозначное соответствие между любой точкой и числом, а значит и между числовыми множествами и множествами точек. Мы рассмотрели лучи, направленные как в положительном, так и в отрицательном направлении, включающие свою вершину и не включающие ее. Теперь рассмотрим отрезки.

Пример 10:

Задано множество чисел . Изобразить соответствующее множество точек

Пример 11:

Задано множество чисел . Изобразить множество точек:

Иногда чтобы показать, что концы отрезка не включаются в множество, рисуют стрелки:

Решение задач на выполнение нескольких типовых действий

Пример 12:

Дано числовое множество . Построить его геометрическую модель:

Найти наименьшее число из промежутка :

Найти наибольшее число из промежутка , если оно существует:

Мы может отнять от восьми сколь угодно малое число и сказать, что результат и будет наибольшим числом, но тут же найдем число еще меньше, и результат вычитания увеличится, так что найти наибольшее число в данном промежутке невозможно.

Обратим внимание на тот факт, что ни к одному числу на координатной прямой нельзя подобрать ближайшее число, потому что всегда найдется число еще ближе.

Сколько натуральных чисел содержится в заданном промежутке?

Из промежутка  выделим следующие натуральные числа: 4, 5, 6, 7 – четыре натуральных числа.

Напомним, что натуральные числа – это числа, применяемые для счета.

Возьмем другое множество.

Пример 13:

Задано множество чисел 

Построить его геометрическую модель:

Найти наименьшее число:

Очевидно, что наименьшим числом является 

Найти наибольшее число:

Наибольшего числа мы найти не можем, так как единица не входит в множество.

Сколько натуральных чисел в данном множестве?

Натуральные числа – это числа используемые для счета и начинается ряд натуральных чисел с единицы, а она в множество не входит, значит натуральных чисел нет

Сколько целых чисел в данном множестве?

Напомним, что в множество целых чисел Z входят число 0 и все натуральные числа, взятые со знаками плюс и минус: 

В наше множество входят такие целые числа: -3, -2, -1, 0 – четыре целых числа.

Выводы по уроку

Вывод: в данном уроке мы познакомились с понятием координатной прямой, узнали ее отличие от прямой обычной, сформулировали основное свойство и на его основании составили ряд типовых задач. Решили несколько примеров к каждой задаче и примеры, в которых решается несколько задач сразу.