Вспомним, что синусом угла 
называется ордината точки 
, полученной поворотом точки 
вокруг начала координат на угол 
.
Косинусом угла называется абсцисса точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол .
Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.
Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.
Итак, выясним зависимость между синусом и косинусом.
Пусть на координатной плоскости изображена единичная окружность с центром в начале координат. Точка 
совершает поворот против часовой стрелки на угол и оказывается в точке 
.
По определению синуса и косинуса можно сказать, что абсцисса точки 
равна косинусу угла поворота, то есть 
, а ордината точки равна синусу угла поворота, то есть 
. Тогда можем записать, что точка 
.
Теперь вспомним, что уравнение единичной окружности имеет вид: 
. Так как точка принадлежит нашей единичной окружности, то её координаты удовлетворяют этому уравнению. А значит, можем записать: 
.
А как называется это равенство? Это равенство называют основным тригонометрическим тождеством. Оно выполняется при любых значениях . Основное тригонометрическое тождество часто используется при преобразовании тригонометрических выражений.
Давайте из этого тождества выразим 
. Итак, перенесём 
в правую часть равенства: 
. Извлекаем квадратный корень из обеих частей равенства: 
, 
, если – угол I или II четверти. И 
, если – угол III или IV четверти.
В общем, можем записать так: 
.
Теперь выразим 
. Перенесём 
в правую часть равенства: 
. Извлекаем квадратный корень из обеих частей равенства: 
, 
. 
, если – угол I или IV четверти. 
, если – угол II или III четверти.
В общем, можем записать так: 
.
Вот таким образом мы получили равенства, которые связывают значения синуса и косинуса одного и того же угла.
Давайте вычислим , если 
и 
. Воспользуемся формулой 
. Так как а, то есть угол альфа – это угол III четверти, то 
. Поэтому в формуле перед корнем нужно поставить знак «
»: . Тогда подставим значение в формулу: 
. Выполним вычисления: 
.
Теперь давайте вычислим , если 
и 
. Воспользуемся формулой 
. Так как , то есть угол альфа – это угол IV четверти, то 
.
Поэтому в формуле перед корнем нужно поставить знак «
»? Верно. Запишем формулу: . Подставим значение в формулу: 
. Выполним вычисления: 
.
Ну а теперь выясним зависимость между тангенсом и котангенсом. По определению 
, а 
. Перемножим почленно эти равенства: 
. И получим: 
Выразим из этого равенства 
и получим, что 
. И выразим 
и получим, что 
. Важно отметить, что так как на нуль делить нельзя, то 
и 
, то есть 
, 
.
Вычислим , если 
. Подставляем в формулу 
значение котангенса: 
. Вычисляем и получаем 
.
Вычислим , если 
и 
. По формуле найдём . Так как , то есть угол – это угол II четверти, то 
. Поэтому в формуле перед корнем нужно поставить знак «»: . Подставим значение . Выполним вычисления: 
.
Теперь найдём значение . Подставим значения и 
. Выполним вычисления: 
.
И нам осталось найти зависимость между тангенсом и косинусом. Для этого мы с вами разделим обе части основного тригонометрического тождества 
на : 
. При этом не должен равняться нулю, то есть 
, . Преобразуем левую часть равенства: 
. Первое слагаемое в левой части можем записать как 
, второе – как 
: 
.
Эта формула и показывает зависимость между тангенсом и косинусом? Да. Из этой формулы мы можем выразить тангенс через косинус и косинус через тангенс.
Давайте вычислим , если 
и . Выразим из формулы 
: 
. Подставим значение : 
. Выполним вычисления: 
. , то есть это угол II четверти. Тангенс во второй четверти принимает отрицательные значения. Поэтому 
.
И вычислим , если 
и . Из формулы выразим : 
. Подставим значение : 
. Выполним вычисления: 
. У нас . Косинус в III четверти принимает отрицательные значения. Поэтому 
.
А сейчас выполним несколько заданий.
Задание первое. Найдите , и , если 
и .
Решение.
Задание второе. Найдите , и , если 
и .
Решение.
