Синус, косинус и тангенс углов α и -α

Вспомним, что синусом угла называется ордината точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол .

Косинусом угла называется абсцисса точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол .

Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.

Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.

Теперь приступим к рассмотрению новой темы. Итак, пусть на координатной плоскости изображена единичная окружность с центром в начале координат. Точка совершает поворот против часовой стрелки на угол и оказывается в точке . По определению синуса и косинуса можем сказать, что абсцисса точки равна , а ордината – . Затем точка совершает поворот на угол , противоположный углу , и оказывается в точке .

Тогда абсцисса точки равна , а ордината равна ? Верно.

Посмотрите на угол . Ось делит его пополам, а значит, точки и симметричны относительно оси .

Тогда абсциссы этих точек совпадают, а ординаты имеют противоположные значения, то есть можем записать, что , а . Сразу отметим, что формулы и справедливы при любых значениях .

А что можно сказать про тангенс противоположных углов? По определению тангенса угла можем записать, что . По формуле числитель запишем как , по формуле знаменатель запишем как : . Таким образом, мы получили, что . Отметим, что здесь , , так как ранее мы с вами говорили, что тангенс этих углов не определён.

Как быть с котангенсом противоположных углов? По определению котангенса угла запишем: . По формуле числитель запишем как , а знаменатель по формуле запишем как : . Таким образом, получили, что . Здесь , , так как котангенс этих углов не определён.

Полученные формулы позволяют перейти от вычисления синуса, косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов.

Давайте найдём , , , .