Вспомним формулы сложения для синуса: 
, 
; косинуса: 
, 
; тангенса: 
; 
. Используя эти формулы, мы с вами выведем формулы синуса, косинуса и тангенса двойного угла.
Итак, в формулу вместо 
подставим 
: 
. Получили, что 
.
Тогда формулу косинуса двойного угла можно вывести с помощью формулы сложения для косинуса? Да. В формулу подставим вместо : 
. Таким образом, получили, что 
.
Давайте вычислим 
, если 
и 
. Воспользуемся формулой 
. Значение 
нам известно, а вот значение 
надо найти. Выразим из основного тригонометрического тождества: 
. Так как , то есть угол альфа – это угол четвёртой четверти, то 
. А значит, можем записать, что 
. Подставим значение и выполним вычисления: 
. Теперь подставим значения и 
в формулу и выполним вычисления: 
.
И давайте вычислим 
, если 
. Воспользуемся формулой 
. Значение нам известно из условия. Из основного тригонометрического тождества выразим 
: 
. И подставим в формулу , выполним преобразования: 
. Затем подставим значение и выполним вычисления: 
.
А сейчас выведем формулу тангенса двойного угла. Для этого в формулу подставим вместо : 
. Получим, что 
.
А есть формула двойного угла для котангенса? Такая формула есть. Но прежде, чем её вывести, давайте докажем следующее равенство: 
. Перепишем левую часть равенства: 
[числитель преобразуем по формуле , а знаменатель преобразуем по формуле ] 
[теперь разделим числитель и знаменатель дроби на 
] 
. Равенство 
доказано.
Это формула сложения для котангенса? Верно. Теперь с помощью этой формулу мы можем вывести формулу котангенса двойного угла. Подставим в формулу 
подставим вместо и выполним преобразования: 
. Таким образом, получили, что 
.
Давайте вычислим 
, если 
. Подставим в формулу 
известное значение 
и выполним вычисления: 
.
Таким образом, мы с вами познакомились с формулами синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного угла.
А сейчас закрепим наши знания на практике.
Задание первое. Вычислите: а) 
; б) 
; в) 
.
Решение.
Второе задание. Найдите значение выражений: а) 
; б) 
.
Решение.
И ещё одно задание. Упростите выражения: а) 
; б) 
; в) 
.
Решение.
