Вспомним формулы сложения для синуса: 
, 
; косинуса: 
, 
. Эти формулы мы будем использовать при доказательстве формул суммы и разности синусов и формул суммы и разности косинусов.
Итак, докажем, что 
.
Обозначим 
, 
. Тогда 
, а 
. Таким образом, можем записать, 
[,
] 
[вернёмся к замене] 
. Формула 
доказана.
Читается эта формула так: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.
. Эта формула получается из формулы заменой 
на 
: 
. Выполним преобразования и получим: 
.
Читается эта формула так: разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.
Теперь докажем формулу суммы косинусов: 
.
Обозначим , . Тогда , а .
Поэтому 
[, ] 
[вернёмся к замене] 
. Таким образом, формула 
доказана. Читается формула так: сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.
И нам осталось рассмотреть формулу разности косинусов.
Она получается из формулы заменой на ? Нет. Формула разности косинусов доказывается так же, как формулы и .
Докажем, что 
.
Обозначим , . Тогда , а .
Поэтому 
[, ]
.
Вернёмся к замене и получим: 
.
Читается формула следующим образом: разность косинусов двух углов равна взятому со знаком «минус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.
Таким образом, мы с вами познакомились с формулами суммы и разности синусов и формулами суммы и разности косинусов.
Давайте вычислим 
. Для этого воспользуемся формулой . Имеем:
.
И преобразуем в произведение выражение:
. 
[запишем 
как 
] 
[
] 
[воспользуемся формулой 
]
.
А сейчас рассмотрим следующие три формулы: 
, 
, 
. Это формулы преобразования произведений в сумму или разность.
Давайте с вами докажем, например, формулу 
. Для этого преобразуем правую часть равенства к левой: 
[к выражению в скобках применим формулу и формулу ]
.
Итак, мы привели правую часть равенства к левой, следовательно, доказали, что произведение синуса угла альфа и синуса угла бета равно полуразности косинуса разности этих углов и косинуса их суммы. Формулы 
и 
доказываются так же, как и формула 
.
А теперь закрепим новые знания на практике.
Задание первое. Представьте в виде произведения следующие выражения: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Решение.
Второе задание. Представьте в виде суммы или разности выражения: а) 
; б) 
; в) 
.
Решение.
И выполним ещё одно задание, в котором надо найти значения следующих выражений: а) 
; б) 
.
Решение.
