Напомним, что уравнение, которое содержит переменную под знаком тригонометрических функций, называется тригонометрическим уравнением. Уравнения вида , ,  и , где  – переменная, а число , называются простейшими тригонометрическими уравнениями. На этом уроке мы с вами подробно рассмотрим решение уравнений вида .

Вы уже знаете, что синусом угла  называется ордината точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол . При этом не забудем отметить, что так как координаты  и  точек единичной окружности удовлетворяют неравенствам  и , то для  справедливо неравенство . Из этого следует, что уравнение  имеет корни только при .

Так как же решают такие уравнения? Давайте рассмотрим два уравнения:  и .

Чтобы найти х в первом уравнении, нам нужно ответить на вопрос, чему равен синус точки . Для этого нам достаточно вспомнить таблицу значений синуса.

Тогда . Давайте покажем это на единичной окружности. Отметим точку . У этой точки, как и у любой другой, есть свои координаты. Если мы опустим перпендикуляр из точки  на ось ординат, то попадём в .

А теперь вернёмся ко второму уравнению . Чтобы найти х в этом уравнении, нам нужно ответить на вопрос, синус каких точек равен .

Давайте ненадолго отвлечёмся от тригонометрии. Начертим координатную плоскость. А теперь найдём все те точки, у которых ордината равна . Несложно догадаться, что таких точек будет бесконечное множество и все они будут лежать на горизонтальной прямой, проходящей через точки с ординатой, равной .

А теперь вернёмся к тригонометрии. Нас будут интересовать все точки, которые лежат на единичной окружности и пересекаются горизонтальной прямой, проходящей через точки, имеющие ординату, равную . Заметим, что наша прямая пересекает единичную окружность в двух точках –  и . Исходя из таблицы значений синуса, точка  получается из начальной точки  поворотом на угол , а точка  – поворотом на угол . Тогда решением нашего уравнения будут два корня  и . Но ведь в эти точки мы можем попасть не по одному разу. Если мы сделаем полный оборот по единичной окружности, то снова попадём в эти точки. Сделав ещё полный оборот, снова попадём в эти точки и так далее. Тогда окончательным решением нашего уравнения будет серия корней:

Второй корень мы можем переписать как . Как правило, эти два корня совмещают и записывают как .

Заметим, что если , то из последней формулы получаем: , а если , то из последней формулы получаем: .

Вообще, при решении уравнений вида  возможны четыре случая.

Первый случай: . Раскрывая модуль, имеем . В этом случае на единичной окружности будут располагаться две точки –  и , ординаты которых равны а. Эти точки получаются путём поворота начальной точки на угол  и  соответственно. Тогда решения уравнения  можно записать в виде: , и . Заметим, что эти точки симметричны относительно оси ординат. Следовательно, . Чаще всего эти серии решений объединяют в одну формулу: .

Например, решим следующие уравнения  и . Ординату, равную , имеют две точки единичной окружности. Так как , то угол , а тогда угол . Следовательно, все корни уравнения  можно найти по формуле . При чётном n получим первую серию решений, при нечётном – вторую.

Перейдём ко второму уравнению . Ординату, равную , имеют две точки единичной окружности. Так как , то угол , а тогда угол . Следовательно, все решения уравнения  можно найти по формуле .

Обратите внимание, каждое из уравнений  и  имеет бесконечное множество корней. Однако на отрезке  каждое из этих уравнений имеет только один корень. Так, , – это корень уравнения , а , – это корень уравнения . Число  называют арксинусом числа . Записывают так: . Число  называют арксинусом числа . Записывают так: .

Кстати, «арксинус» в переводе с латинского означает «дуга» и «синус». Это обратная функция.

Вообще, уравнение , где , на отрезке  имеет только один корень. Если , то этот корень заключён в промежутке ;

если же , то корень располагается в промежутке .

Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают так .

Запомните! Арксинусом числа а, , называется такое число , синус которого равен а.

, если  и 

Например, , так как , . , так как , .

Возвращаясь к нашему уравнению , где , можно утверждать, что все корни уравнения можно найти по формуле: .

Запомните! Для любого  справедлива формула . Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел.

Например, .

Второй случай: . Раскрывая модуль, имеем  и . Поскольку для  справедливо неравенство , то понятно, что в этом случае уравнение  не будет иметь корней.

Например, уравнения  и  не имеют корней.

Третий случай (частный): . В этом случае есть две точки тригонометрической окружности, которые имеют ординату, равную 0. Точка  представляет все числа вида , а точка  – все числа вида . Заметим, что две записанные серии решений уравнения  можно выразить одной формулой: . Так как при  получится первая серия решений , а при  – .

И последний, четвёртый случай (тоже частный): . Раскрывая модуль, имеем , и . В этом случае горизонтальные прямые, проходящие через точки, имеющие ординаты, равные –1 и 1, будут касаться единичной окружности в точках с координатами (0;1) и (0;–1). Эти точки получаются путём поворота начальной точки на угол  и . Тогда уравнение  имеет серию решений: . А решением уравнения  будет следующее: .

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание. Решите уравнение .

Решение. Для начала преобразуем уравнение. Единицу перенесём в правую часть, затем разделим обе части равенства на –2. Получим . По формуле нахождения корней уравнения , имеем . . Отсюда . Перенесём 4 в правую часть равенства. Затем разделим обе части равенства на 3. Отсюда х равен: .