Напомним, что уравнение, которое содержит переменную под знаком тригонометрических функций, называется тригонометрическим уравнением. Уравнения вида , ,  и , где х – переменная, а число , называются простейшими тригонометрическими уравнениями. На этом уроке мы с вами подробно рассмотрим решение уравнений вида  и .

Вы уже знаете, что тангенсом угла  называется отношение синуса угла  к его косинусу. А котангенсом угла  называется отношение косинуса угла  к синусу угла .

Важно помнить, что  и  определены для любого угла , а их значения заключены в промежутках от минус единицы до единицы, так как координаты точек единичной окружности заключены в промежутках –1 до 1.

А вот тангенс  определён только для тех углов, для которых косинус  не равен нулю, так как делить на нуль нельзя. Тогда тангенс  определён для любых углов, кроме .

Что касается котангенса , то он определён только для тех углов, для которых синус  не равен нулю. То есть котангенс  определён для любых углов, кроме .

Исходя из определений тангенса и котангенса, следует, что  и  могут принимать любые действительные значения. Значит, уравнения  и  имеют корни при любом значении а.

Так как же решают такие уравнения? Давайте рассмотрим два уравнения:  и .

Решение этих уравнений удобно проиллюстрировать с помощью линии тангенсов. Напомним, что тангенс икс – это ордината точки М пересечения прямой ОМ с линией тангенсов.

Итак, построим углы, тангенсы которых равны 1. Для этого через начальную точку Р проведём прямую, перпендикулярную оси абсцисс, то есть линию тангенсов. На линии тангенсов есть лишь одна точка с ординатой один. Обозначим её М. Затем через точку М и начало координат проведём прямую. Обратите внимание, эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках – и . Видим, у нас получился прямоугольный треугольник РОМ. Вы уже знаете, что тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему . Найдём это отношение. Так как РО равно 1, то имеем .

Отсюда по таблице значений . Таким образом, точка  получается путём поворота начальной точки на угол . В свою очередь, точка  получается поворотом начальной точки на угол .

Но ведь в эти точки мы можем попасть не по одному разу. Если мы сделаем полный оборот по единичной окружности, то снова попадём в эти точки. Сделав ещё полный оборот, снова попадём в эти точки и так далее. Отсюда  имеет две серии решений:

Как правило, эти серии решений совмещают и записывают как .

Решим второе уравнение . Оно решается аналогичным образом. Итак, построим углы, тангенсы которых равны –1. Для этого проведём линию тангенсов. На линии тангенсов есть лишь одна точка с ординатой –1. Обозначим её М. Затем через точку М и начало координат проведём прямую. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках –  и . Видим, у нас получился прямоугольный треугольник РОМ. Так как тангенс угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему , то . Отсюда . Таким образом, точка  получается путём поворота начальной точки на угол . В свою очередь, точка  получается поворотом начальной точки на угол .

Отсюда уравнение  имеет две серии решений:

Как правило, эти серии решений совмещают и записывают как .

Заметим, что каждое из уравнений  и  имеет бесконечное множество корней. Однако на интервале  каждое из этих уравнений имеет только один корень. Так, , – это корень уравнения , а , – это корень уравнения . Число  называют арктангенсом числа 1. Записывают так: . Число  называют арктангенсом числа –1. Записывают так: .

Кстати, «арктангенс» в переводе с латинского означает «дуга» и «тангенс». Это обратная функция.

Вообще, уравнение  для любого  на интервале  имеет только один корень. Если , то этот корень заключён в промежутке ;

если же , то корень располагается в промежутке .

Этот корень называют арктангенсом числа а и обозначают так .

Запомните! Арктангенсом числа  называется такое число , тангенс которого равен а.

, если  и 

Например, , так как , . , так как , .

Возвращаясь к нашему уравнению , где , можно утверждать, что все корни уравнения можно найти по формуле: . Это и есть общая формула нахождения корней уравнения .

Запомните! Для любого  справедлива формула . Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.

Например, .

Уравнения вида  решаются аналогичным образом. Отличия лишь в том, что  – это абсцисса точки М пересечения прямой ОМ с линией котангенсов. И при построении углов, котангенсы которых нужно найти, из прямоугольного треугольника мы будем находить отношение прилежащего катета к противолежащему, так как котангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему . Вычислив это отношение, мы найдём искомое решение уравнения.

Уравнение  также имеет бесконечное множество решений при любых значениях а. Однако на интервале  это уравнение для любого действительного а имеет только один корень. Если , то этот корень заключён в промежутке ;

если же , то корень располагается в промежутке .

Этот корень называют арккотангенсом числа а и обозначают так .

Запомните! Арккотангенсом числа  называется такое число , котангенс которого равен а.

, если  и 

Например, , так как , . , так как , .

Тогда можно утверждать, что все корни уравнения  можно найти по формуле: . Это и есть общая формула нахождения корней уравнения котангенс икс равно а.

Запомните! Для любого  справедлива формула . Эта формула позволяет находить значения арккотангенсов отрицательных чисел через значения арккотангенсов положительных чисел.

Например, .

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание. Решите уравнения  и .

Решение.