Прежде, чем мы приступим к изучению новой темы, давайте вспомним, что тригонометрическим уравнением называется уравнение, которое содержит переменную под знаком тригонометрических функций. Уравнения вида: , ,  и , где  – переменная, а число , называются простейшими тригонометрическими уравнениями. Также мы вспомним, что все корни уравнения , где , можно найти по формуле: . Все корни уравнения , где , можно найти по формуле: . Все корни уравнения , где , можно найти по формуле: . А все корни уравнения , где , можно найти по формуле: .

На этом уроке мы с вами рассмотрим примеры решения тригонометрических уравнений, которые различными способами сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.

Итак, уравнения, сводящиеся к квадратным.

Решим уравнение: . Это уравнение является квадратным относительно . Обозначим . Тогда исходное уравнение примет вид: . Решим это квадратное уравнение: . Его корнями являются  и . Теперь вернёмся к замене и получим два простейших уравнения:  и . Первое уравнение не имеет решений, так как . По формуле нахождения корней уравнения  решением второго уравнения будет . Так как , то . Ответ: .

Рассмотрим уравнение вида .

. Разделим обе части этого уравнения на  и получим: , .

Перенесём  в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на : . Получили простейшее тригонометрическое уравнение. По формуле нахождения корней уравнения  его решением будет . Ответ: .

Обратите внимание, что при решении обе части исходного уравнения были поделены на . А при делении уравнения на выражение, которое содержит неизвестное, могут быть потеряны корни. Следовательно, необходимо проверить, не являются ли корни уравнения  корнями нашего уравнения. Если , то из нашего уравнения  следует, что и . А из основного тригонометрического тождества  следует, что  и  не могут одновременно равняться нулю. Таким образом, при делении уравнения вида: , где ,  (а значит, и данного уравнения),  или на  получаем уравнение, которое равносильно данному.

И давайте решим уравнение: . Применим формулы ,  к левой части уравнения, правую часть уравнения запишем как произведение  и , тогда уравнение примет вид: . Затем  по основному тригонометрическому тождеству запишем как : . Раскроем скобки, перенесём слагаемые из правой части уравнения в левую, приведём подобные слагаемые: , , . Теперь разделим это уравнение на  и получим равносильное уравнение: , . Обозначим . Тогда исходное уравнение примет вид. Решим это квадратное уравнение: . Его корнем будет . Теперь вернёмся к замене и получим простейшее уравнение: . По формуле нахождения корней уравнения  можем записать, что . Так как , то . Тогда . Ответ: .

Таким образом, мы с вами решили уравнение вида: , где где , , . Такое уравнение можно решить с помощью введения вспомогательного угла. Давайте выясним, в чём заключается метод введения вспомогательного угла. В первую очередь необходимо проверить, выполняется ли условие . Если условие выполняется, то разделим обе части уравнения на : .

Легко убедиться, что коэффициенты  и  связаны равенством: . Исходя из основного тригонометрического тождества : обозначим ,  . Таким образом, уравнение  можно записать в виде: . Теперь, применив к левой части уравнения формулу , получим .

Таким образом, уравнение  мы свели к простейшему тригонометрическому уравнению.

Итак, решим предыдущее уравнение  введением вспомогательного угла. Здесь у нас , , . Проверим, выполняется ли условие . Подставим значения ,  и : , . Видим, что получили верное неравенство, а значит, условие выполняется. . Разделим обе части нашего уравнения на : . Теперь введём вспомогательный аргумент , такой, что , . , , тогда наше уравнение примет вид: . По формуле  запишем: . Мы знаем, что корни уравнения  находятся по формуле  . Тогда в нашем случае . Перенесём  в правую часть: . Вычтем  из  и получим, что . Ответ: .

Тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, часто решаются разложением левой части на множители. Решим уравнение: . Воспользуемся формулой  и запишем . Вынесем : . Произведение обращается в нуль, если один из множителей равен нулю. Следовательно,  или . Решим уравнение . Мы знаем, что корни уравнения  находятся по формуле . Тогда в нашем случае . Откуда . Решим уравнение . Перенесём  в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на : . По формуле нахождения корней уравнения  получаем: . Так как , то . Тогда . Ответ: , , .

Есть уравнения, которые можно решить с помощью формул половинного угла. Решим уравнение: . Применим формулу  и запишем первое слагаемое в левой части как, второе слагаемое запишем как , третье слагаемое запишем как  ,  в правой части уравнения запишем как :  . Умножим обе части уравнения на : . Сложим единицы в левой части: . Перенесём  в правую часть: , . Умножим уравнение на : . Поменяем местами первое и второе слагаемые: . Теперь применим ко второму и третьему слагаемым формулу : , , . Вынесем за скобки : . Произведение обращается в нуль, если один из множителей равен нулю. Следовательно,  или . Решим уравнение . Корни уравнения  находятся по формуле . Тогда для нашего уравнения . Откуда .

Решим уравнение . Перенесём  в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на : . По формуле нахождения корней уравнения  получаем . . Тогда . Отсюда . Ответ: , .