Таблица истинности представляет собой таблицу, с помощью которой можно задать любую логическую функцию, и которая показывает, чему равно значение логического выражения при всех возможных значениях исходных переменных.
Для того чтобы построить таблицу истинности логического выражения, необходимо:
- Подсчитать число переменных в выражении – ;
- Подсчитать все логические операции в выражении;
- Установить последовательность выполнения этих операций, учитывая их силу;
- Определить число столбцов в таблице (n+число операций);
- Заполнить cтроку с заголовками столбцов таблицы истинности, занеся в неё имена логических переменных и операций (операции можно обозначить номерами их выполнения);
- Определить число строк в таблице (кроме её шапки): m=2n-1;
- Выписать наборы входных переменных, которые представляют собой ряд целых n- разрядных двоичных чисел от 0 до 2n-1;
- Записать в таблицу истины данные по столбцам и выполнить логические операции [1, с.29].
Само же построение таблицы истинности по условию задачи и её анализ является одним из универсальных методов решения многих логических задач. Для этого следует:
- Выделить из условия задачи элементарные высказывания и обозначить их буквами.
- Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединив простые высказывания в составные с помощью логических операций.
- Построить таблицу истинности для полученных логических выражений.
- Выбрать набор логических переменных (элементарных высказываний), при котором значения логических выражений соответствуют условиям задачи.
- Проверить, удовлетворяет ли решение условиям задачи [4, с.2].
Тема решения логических задач с помощью таблиц истинности актуальна для школьников разных возрастов. Эта тема рассматривается во многих УМК [1,2,3].
Рассмотрим задачи на применение таблиц истинности.
Задача 1. Аня, Оля и Ева были на зимних каникулах у бабушки. Однажды одна из девочек нечаянно уронила тарелку, и она разбилась. Когда бабушка спросила, кто разбил тарелку, то девочки дали такие ответы:
Ева: 1) Я не роняла. 2) Оля не роняла.
Оля: 1) Ева не роняла. 2) Тарелку уронила Аня.
Аня: 1) Я не роняла. 2) Тарелку уронила Ева.
Бабушка знает, что одна из внучек оба раза сказала правду, другая – оба раза солгала, третья – один раз солгала и один раз сказала правду. Как зовут внучку, которая лжет (шутница), которая говорит правду (правдивая), то лжет, то говорит правду (хитрая). Кто разбил тарелку?
Решение: Пусть А = «Аня уронила тарелку», О = «Оля уронила тарелку», Е= «Ева уронила тарелку». Для решения задачи составим таблицу истинности, где будут ответы девочек. Можно взять только части этой таблица, содержащей такие наборы значений переменных: 001, 010,100, так как кто-то один уронил тарелку (таблица 1).
Таблица 1. Таблица истинности
| А | О | Е | Утверждения Евы | Утверждения Оли | Утверждения Ани | |||
| Ē | Ō | Ē | А | Ā | Е | |||
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Ищем в таблице строку, содержащую в любом порядке комбинации значений: 00 (шутница), 11 (правдивая), 10 (хитрая). Выделим эту строку жирным шрифтом. Согласно ней, тарелку уронила Ева, и она же хитрая девочка. Шутница – Оля, правдивая внучка — Аня.
Задача 2. Три женщины А, В, С хотели получить по итогам посевной наибольший урожай. Их мамы сделали следующие прогнозы:
- Если А получит наибольший урожай, то наибольший урожай получат В и С.
- А и С получат или не получат наибольший урожай одновременно.
- Необходимым условием получения наибольшего урожая С является получение наибольшего урожая В.
После сбора урожая оказалось, что один из трех прогнозов оказался ложным, а остальные два истинными. Какие из женщин получили наибольший урожай.
Решение: Пусть А = «А получит наибольший урожай», В = «В наибольший урожай», С = «С получит наибольший урожай». Запишем на языке логики прогнозы мам:
Составим таблицу истинности:
Таблица 2. Таблица истинности
| А | В | С | F1 | F2 | F3 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Из трех прогнозов 1 – ложный, 2 – истинные. Это любая комбинация из одного нуля и двух единиц. Выделяем соответствующую этому строку в таблице 2 – это 4 строка.
Ответ: наибольший урожай получили женщины В и С.
Таким образом, в работе был рассмотрен актуальный на данный период времени алгоритм решения логических задач с помощью таблиц истинности в школьном курсе информатики, а также примеры применения этого алгоритма.
