Порядок выполнения логических операций:
• Отрицание («НЕ», ¬) — выполняется первым, так как меняет значение истинности конкретного высказывания.
• Конъюнкция («И», ∧) — выполняется следующим, объединяя высказывания так, что результат будет истинен только если оба операнда истинны.
• Дизъюнкция («ИЛИ», ∨) — идет после конъюнкции, объединяя высказывания так, что результат будет истинен, если хотя бы одно из них истинно.
• Импликация («ЕСЛИ…, ТО…», →) — выполняется после конъюнкции и дизъюнкции, связывая условие и следствие.
• Эквиваленция («РАВНОЗНАЧНОСТЬ», ⇔) — выполняется последней, проверяя равенство значений истинности двух высказываний.
Также для решения этого задания могут понадобиться основные законы алгебры логики:
Построение таблицы истинности — это процесс, в котором перечисляются все возможные комбинации значений переменных логического выражения и вычисляются результаты выражения для каждой комбинации. Вот алгоритм построения таблицы истинности:
1. Определи количество переменных: сначала определите, сколько логических переменных используется в выражении (например, A, B, C).
2. Найди число строк: для n переменных потребуется 2^n строк, поскольку каждая переменная может принимать одно из двух значений (0 или 1), и нужно учитывать все возможные комбинации. Например, для двух переменных A и B потребуется 2^2 = 4 строки, а для трех переменных 2^3 = 8.
3. Заполни колонки переменных: создайте отдельные колонки для каждой переменной и начните заполнять их значениями 0 и 1. Распределяйте значения так, чтобы каждая переменная менялась с разной частотой:
o Для первой переменной чередуйте значения через одну строку (0, 1, 0, 1…).
o Для второй — через две строки (0, 0, 1, 1…).
o Для третьей — через четыре строки (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1…), и так далее.
4. Вычисли промежуточные результаты: если логическое выражение сложное и содержит несколько операций, добавьте столбцы для промежуточных операций, таких как ¬A, A ∧ B, A ∨ B, и заполните их значениями для каждой строки. Не забывайте про порядок выполнения логических операций!
5. Рассчитай итоговое выражение: после заполнения всех промежуточных столбцов определите значение итогового выражения для каждой строки, используя уже вычисленные значения. Запишите полученные значения в последний столбец таблицы.
6. Проверь правильность: убедитесь, что каждая комбинация возможных значений переменных и соответствующие результаты выражения указаны верно.
Таким образом, таблица истинности будет наглядно показывать, каким будет результат логического выражения для каждой возможной комбинации входных значений.
Перейдём к примеру решения прототипов задач:
Разберём задачу №2 ЕГЭ 2024 из демоверсии ФИПИ:
Миша заполнял таблицу истинности логической функции F:
(x ∧ ¬y) ∨ (y ≡ z) ∨ ¬w
но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z.
Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z.
Способ аналитический
Мы просто перепишем наше выражение, используя тот факт, что конъюнкция (∧) – это логическое умножение, дизъюнкция (∨) – это логическое сложение, а для остальных операций будем перебирать все возможные комбинации.
1. Перепишем выражение из условия:
(x * ¬y) + (y == z) + ¬w = 0
2. Перебираем все возможные варианты:
по выражению видно, что это сумма, состоящая из трёх слагаемых, которая должна быть равно 0, тогда каждое из слагаемых тоже должно быть равно 0.
3. ¬w = 0, тогда w всегда должно быть равно 1.
(y == z) = 0, тогда или y = 1, z = 0, или наоборот (смотрим таблицу истинности для эквиваленции)
(x * ¬y) = 0, тогда или x = 0, ¬y = 1 (y = 0), или x = 0, ¬y = 0 (y = 1), или x = 1, ¬y = 0 (y = 1)
4. Но нам важно помнить, что наши переменные в каждом слагаемом в одном случае – это всё ещё одна переменная, то есть если в первом слагаемом y = 0, то во втором он не может стать равным 1!
5. Составляем таблицу истинности:
6. Аналогично предыдущему способу решения сопоставляем таблички, пишем ответ.
Ответ: wzyx
