Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.
Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.
Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.
Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 46 и произносят «четыре в шестой степени».
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 46
Выражение 46 называют степенью числа, где:
- 4 — основание степени;
- 6— показатель степени.
В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается с помощью выражения:
Запомните!
Степенью числа «a» с натуральным показателем «n», бóльшим 1, называется произведение «n» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a».
Запись «an» читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».
Исключение составляют записи:
- a2 — её можно произносить как «а в квадрате»;
- a3 — её можно произносить как «а в кубе».
Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:
- a2 — «а во второй степени»;
- a3 — «а в третьей степени».
Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).
a1 = a
Любое число в нулевой степени равно единице.
a0 = 1
Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0n = 0
Единица в любой степени равна 1.
1n = 1
Выражение 00 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.
- (−32)0 = 1
- 0253 = 0
- 14 = 1
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.
Пример. Возвести в степень.
- 53 = 5 · 5 · 5 = 125
- 2,52 = 2,5 · 2,5 = 6,25
- (3/4)4 = 3/4 * 3/4 * 3/4 * 3/4 = 81/256
Возведение в степень отрицательного числа
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.
Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.
Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.
Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.
Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное.
Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
a2 ≥ 0 при любом a.
- 2 · (−3)2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
- −5 · (−2)3 = −5 · (−8) = 40
Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5)4 и −54 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.
Вычислить (−5)4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.
В то время как найти «−54» означает, что пример нужно решать в 2 действия:
- Возвести в четвёртую степень положительное число 5.
54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 - Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
−54 = −625
Пример. Вычислить: −62 − (−1)4
−62 − (−1)4 = −37
- 62 = 6 · 6 = 36
- −62 = −36
- (−1)4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
- −(−1)4 = −1
- −36 − 1 = −37
Порядок действий в примерах со степенями
Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.
Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Пример. Вычислить:
Домашнее задание
Стр. 66 — 67 читать
Упр. 133, 135, 137, 139, 141, 143, 145