Прежде, чем говорить о перпендикулярных прямых, выясним, какие углы называют смежными, а какие вертикальными.

Определение:

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются противоположными лучами.

Например, углы АОВ и ВОС являются смежными:

Так как лучи ОА и ОС образуют развёрнутый угол, то АОВ+ВОС=АОС, градусная мера которого равна 180 градусам.

Свойство:

Сумма смежных углов равна 180 градусам.

Определение:

Вертикальными называются углы, если они имеют общую вершину и стороны одного угла являются лучами, противоположными сторонам другого.

Угол 2 является смежным с углом 1 и с углом 3.

А по свойству смежных углов:

Из этих двух равенств получаем:

Таким образом, получаем:

Аналогично можем доказать, что:

Следовательно, можно сказать, что вертикальные углы равны.

Определение:

Две прямые называют перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Например, прямые АВ и СD образуют при пересечении четыре прямых угла, а значит, они являются взаимно перпендикулярными:

Перпендикулярность прямых АВ и CD обозначается следующим образом:

Отметим, что две прямые перпендикулярные к третьей не пересекаются.

Докажем это. Возьмём прямые АВ и  перпендикулярные прямой СD:

Перегнём рисунок по прямой СD так, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы равны, то луч СА наложится на луч СВ, а луч D наложится на луч D.

Если предположить, что АВ и  пересекаются в некоторой точке О, то эта точка наложится на точку , которая также лежит на этих прямых. Тогда мы получим, что через две точки О и  проходят две прямые АВ и , а это невозможно.

Следовательно, наше предположение неверно, а значит, прямые АВ и  не пересекаются.

Для проведения перпендикулярных прямых используют чертёжный треугольник с линейкой.

А вот, чтобы построить прямой угол на местности, можно воспользоваться простейшим прибором, который называют экер. Данный прибор представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков есть гвоздики, которые расположены так, что прямые проходящие через них взаимно перпендикулярны.

Чтобы построить прямой угол с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Затем провешивают линию по направлению другого бруска (прямая ОВ). В результате получается прямой угол АОВ.

В геодезии (в переводе с греческого «геодезия» означает «землеразделение»), науке, об измерениях на земной поверхности и в околоземном пространстве, для построения прямых углов используют наиболее совершенные приборы. Одним из таких является теодолит.

Домашнее задание

Упражнения 54 — 70