Сложение и вычитание степеней
Как складывать числа со степенями и как вычитать степени — очень просто. Основной принцип такой: выполняется сначала возведение в степень, а уже потом действия сложения и вычитания.
23+ 34= 8 + 81= 89
63— 33= 216 — 27 = 189
|
Сложение степеней с разными показателями
В таком случае действуем согласно общему правилу: сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.
- 23+ 24= 8 + 16= 24
Сложение степеней с разными основаниями
В целом это ничем не отличается от предыдущего пункта. Могут быть разные основания, но одинаковые показатели. А могут быть и разные основания, и разные показатели. Поэтому сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.
- 34+ 54=81 + 625 = 706
- 14+ 72= 1+ 49 = 50
Как складывать числа с одинаковыми степенями
Точно так же, как и в предыдущем примере. Если показатели степени одинаковые, а основания разные — нельзя сложить основания и затем эту сумму возводить в степень.
- 63+ 33= 216 + 27 = 243
В уравнениях с этим все проще. Если показатель и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a2, например) — их коэффициенты можно складывать. Коэффициент — это число перед переменной a2.
- 2a2 + 3a2 = 5a2
2,3, 5 — коэффициенты
a2 — переменная
Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.
Вычитание степеней с одинаковым основанием
Здесь принцип тот же, что и со сложением: возводим в степень числа и только потом вычитаем их.
- 63— 33= 216 — 27 = 189
Вычитание степеней с разными основаниями
Могут быть разные основания, но одинаковые показатели степени. А могут быть и разные основания, и разные показатели. Поэтому сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим вычитание.
- 54— 44= 625 — 256 = 369
- 74— 32= 2401 — 9 = 2392
Вычитание степеней с одинаковыми показателями
Все точно так же, как и со сложением. Если показатели степени одинаковые, а основания разные — нельзя вычесть основания и затем эту разницу возводить в степень. Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем вычитание.
- 63— 33= 216 — 27 = 189
И та же история с коэффициентами: если показатель степени и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a2) — их коэффициенты можно вычитать. Коэффициент — это число перед переменной a2.
- 5a2 — 3a2 = 2a2
5, 3, 2 — коэффициенты
a2 — переменная
Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.
Умножение и деление степеней
Здесь всё не так однозначно, как со сложением и вычитанием — общие правила для всех случаев выделить не получится. Все зависит от оснований и показателей степеней, с которыми нужно выполнить манипуляции.
Например, действия со степенями с разными основаниями будут отличаться от действий с числами, у которых основания одинаковые. Работа с показателями — одинаковыми и разными — тоже отличается. Давайте разбираться.
Умножение степеней с одинаковыми показателями
Чтобы произвести умножение степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным:
- an · bn = (a · b)n , где
a, b — основание степени (не равное нулю)
n — показатели степени, натуральное число
- a5 · b5 = (a·a·a·a·a) ·(b·b·b·b·b) = (ab)·(ab)·(ab)·(ab)·(ab) = (ab)5
- 35 · 45 = (3·4)5 = 125 = 248 832
- 16a2 = 42·a2 = (4a)2
Умножение степеней с одинаковыми основаниями
Степени с одинаковыми основаниями умножаются путём сложения показателей степеней:
am · an= am+n, где
a — основание степени
m, n — показатели степени, любые натуральные числа
- 35 · 32 = 35 + 2 = 37 = 2 187
- 28 · 81= 28 · 23 = 28 + 3 = 211 = 2048
Умножение степеней с разными основаниями и показателями
Если разные и показатели, и основания, и одна из степеней не преобразуется в число с тем же основанием, как у другой степени (как здесь: 28 · 81= 28 · 23 = 211 = 2048), то производим возведение в степень каждого числа и лишь затем умножаем:
- 33 · 52 = 27·25 = 675
Деление степеней с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями
Деление степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.
a — любое число, не равное нулю
m, n — любые натуральные числа такие, что m > n
Деление чисел с одинаковыми показателями степени
При делении степеней с одинаковыми показателями результат частного этих чисел возводится в степень:
- an : bn = (a : b)n , где
a, b — основание степени, любые числа, b ≠ 0,
n — показатель степени, натуральное число
Пример:
Деление степеней с разными основаниями и показателями
Если разные и показатели, и основания, то возводим в степень каждое число и только потом делим:
- 33 ÷52 = 27÷25 = 1,08
Степень с отрицательным показателем и её свойства
Число в минусовой степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем:
|
Чтобы разобраться, как возводить число в отрицательную степень, вспомним правило деления степеней с одинаковыми основаниями.
Деление степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.
Поэтому если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:
- a3÷a6=a3 — 6 = a-3
Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:
Умножение отрицательных степеней
При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются, так же как и при умножении положительных степеней:
am · an = am+n
|
Деление отрицательных степеней
При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя, так же как и при делении положительных степеней:
|
Возведение дроби в отрицательную степень
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:
Возведение произведения в отрицательную степень
Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель произведения отдельно:
Как представить число в виде степени
Чтобы представить число в виде степени, нужно разложить его на простые множители. Если в произведении встречаются несколько одинаковых сомножителей, то это произведение записывается в виде степени.
Например, представим в виде степени число 243:
243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35