1. Повторение: определение и свойства параллелограмма

Напомним, что параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. То есть, если  – параллелограмм, то  (см. Рис. 1).

Рис. 1

Параллелограмм обладает целым рядом свойств: противоположные углы равны (), противоположные стороны равны (). Кроме того, диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, сумма углов, прилежащих к любой стороне параллелограмма, равна  и т.д.

Но для того, чтобы пользоваться всеми этими свойствами, необходимо быть абсолютно уверенными в том, что рассматриваемый четырёхугольник – параллелограмм. Для этого и существуют признаки параллелограмма: то есть те факты, из которых можно сделать однозначный вывод, что четырёхугольник является параллелограммом. На предыдущем уроке мы уже рассмотрели два признака. Сейчас рассмотрим третий.

2. Третий признак параллелограмма и его доказательство

Если в четырёхугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам, то данный четырёхугольник является параллелограммом.

Дано:

 – четырёхугольник; ; .

Доказать:

 – параллелограмм.

Доказательство:

Для того чтобы доказать данный факт, необходимо доказать параллельность сторон параллелограмма. А параллельность прямых чаще всего доказывается через равенство внутренних накрест лежащих углов при этих прямых. Таким образом, напрашивается следующий способ доказательства третьего признака параллелограмма: через равенство треугольников .

Докажем равенство этих треугольников. Действительно, из условия следует: . Кроме того, поскольку углы  – вертикальные, то они равны. То есть:

 (первый признак равенстватреугольников – по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников:  (так как равны внутренние накрест лежащие углы при этих прямых и секущей ). Кроме того, из равенства треугольников следует, что . Значит, мы получили, что в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны. По первому признаку параллелограмма:  – параллелограмм.

Доказано.

3. Пример задачи на третий признак параллелограмма и обобщение

Рассмотрим пример на применение третьего признака параллелограмма.

Пример 1

Дано:

 – параллелограмм; .  – середина ,  – середина ,  – середина ,  – середина  (см. Рис. 2).

Рис. 2

Доказать: – параллелограмм.

Доказательство:

Значит, в четырёхугольнике  диагонали в точке пересечения делятся пополам. По третьему признаку параллелограмма из этого следует, что  – параллелограмм.

Доказано.

Если провести анализ третьего признака параллелограмма, то можно заметить, что этот признак соответствует свойству параллелограмма. То есть, то, что диагонали делятся пополам, является не просто свойством параллелограмма, а его отличительным, характеристическим свойством, по которому его можно выделить из множества четырёхугольников.

На следующем уроке мы рассмотрим решение различных задач про параллелограмм.

Задачи на параллелограммы

Теперь рассмотрим решение задач с использованием определения, свойств и признаков параллелограмма.

Пример 1. В параллелограмме  проведены биссектрисы  и , которые пересекаются в точке . Найти .

Решение. Изобразим Рис. 5.

Рис. 5

Обозначим для удобства: . Следовательно,  поскольку  и  биссектрисы.

По теореме о сумме внутренних углов треугольника .

Вспомним свойство параллелограмма о сумме углов, прилежащих к одной стороне: . Тогда:

.

Ответ. .

Пример 2. Прямая , проведенная через середину  стороны  параллельно стороне  треугольника  пересекает третью его сторону в середине. Доказать, что  – это середина .

Доказательство. Изобразим Рис. 6 с дополнительными построениями: проведем .

Рис. 6

Рассмотрим четырехугольник :

 параллелограмм по определению. Тогда по свойству равенства противоположных сторон , но по условию еще известно, что , следовательно, .

Рассмотрим треугольники  и :

 по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилежащим углам).

Из равенства указанных треугольников следует равенство их соответствующих сторон, т.е., например, что . Это означает, что точка  является серединой стороны . Что и требовалось доказать.

Доказано.

3. Теорема Фалеса

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Изобразим Рис. 7.

Рис. 7. Теорема Фалеса

Рассмотрим . В нем точка  – середина стороны , а прямая . Из предыдущего примера следует, что точка  делит сторону   на две равные части, т.е. . Равенство двух отрезков, ближайших к вершине угла доказано. Аналогично доказывается попарное равенство всех остальных отрезков на второй стороне угла, если проводить прямые параллельные первой стороне угла через начало первого отрезка в любой рассматриваемой паре.

Доказано.

4. Пример задачи на применение теоремы Фалеса

Рассмотрим пример на доказанную теорему.

Пример 3. Дан отрезок , разделить его на три равные части.

Решение. Изобразим указанный отрезок на Рис. 8 и сделаем дополнительные построения: отложим три равных отрезка любой длины  вдоль одной прямой, не совпадающей с указанным в условии отрезком.

Рис. 8. Применение теоремы Фалеса

Соединим прямой точки  и , а затем проведем прямые, параллельные прямой , через точки  и : . Полученные при пересечении отрезка точки  и  будут делить отрезок  на три равных части по теореме Фалеса. Необходимое построение выполнено и задача решена.

Ответ: построено.

Методы, которые мы рассмотрели сегодня на примерах, демонстрирующих свойства и признаки параллелограмма, помогут нам в дальнейшем при работе с параллелограммами в более сложных случаях. А на следующем уроке мы познакомимся с таким видом четырехугольников, как трапеция, и обсудим ее свойства.

Домашнее задание

  1. В параллелограмме   см,  см, биссектрисы углов  и  пересекают сторону  в точках  и . Найдите длину отрезка .
  2. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен . Найдите периметр параллелограмма, если его высоты равны 4 см и 6 см.
  3. ∗ Через середину  диагонали  параллелограмма  проведена прямая, которая пересекает стороны  и  в точках  и  соответственно. Докажите, что четырехугольник  параллелограмм.