Вам уже знакомы понятия степени числа с натуральным и целым показателями. Напомним, что степенью с натуральным показателем называется произведение . Здесь а – основание степени,
– показатель степени, при
.
В свою очередь, степенью с отрицательным целым показателем называется , где
,
– натуральное число.
.
Однако в алгебре существует ещё и понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число. Итак, попытаемся записать как некоторую степень числа а, то есть
.
Мы знаем, что . Исходя из того, что мы представили
, то получим, что
. По свойству возведения степени в степень имеем
. Откуда видим, что произведение
. Следовательно,
.
Тогда получаем, что . По свойству возведения корня n-й степени в степень получим, что
.
Например,
.
Сделаем вывод: если — натуральное число, причём
,
— целое число и частное
является целым числом, то при
справедливо равенство
.
Пусть , причём
— целое число. Отсюда
. Тогда
.
Если же частное не является целым числом, то степень числа а, где
, определяют так, чтобы выполнялась формула
, то есть и в этом случае считают, что
.
Таким образом, формула справедлива для любого целого числа
и любого натурального числа
и положительного основания степени
.
Например,
.
Напомним, что рациональное число – это число вида
, где
– целое,
– натуральное число. Тогда по формуле
получаем
.
Таким образом, степень определена для любого рационального показателя и любого положительного основания а.
Если рациональное число , то выражение
имеет смысл не только при положительном основании степени, но и при
, причём
. Поэтому считают, что
при
.
Пользуясь формулой , степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.
Запомните! Степенью числа с рациональным показателем
, где
– целое число, а
– натуральное, причём
, называется число
.
Замечание: из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого и любого рационального
число
– положительно.
Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби. По основному свойству дроби частное можно представить, как частное
, где
и
– натуральные числа,
– целое число. Тогда при любом
справедливо равенство
.
Что легко доказать применяя свойства корней.
Имеем.
Заметим, что при отрицательном основании степени рациональная степень числа а не определяется. Отрицательные числа нельзя возводить в рациональную степень, не являющуюся целым числом.
А теперь перейдём к основным свойствам степени и покажем, что все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием.
А именно для любых рациональных чисел и
и любых
и
верны равенства:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
Для доказательства этих свойств нужно воспользоваться определением степени с рациональным показателем и свойствами корней.
Докажем первое свойство.
1. .
Итак, пусть ,
, где
и
– натуральные числа,
и
– целые числа.
Нам нужно доказать, что .
Приведём дроби к общему знаменателю ,
.
По определению степени с рациональным показателем имеем .
Аналогичным образом можно доказать и все остальные свойства степени с рациональным показателем.
А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.
Задание. Найдите значения выражения .
Решение.
Пройдите тест