Натуральные числа
Рассмотрим основные числовые множества. Первое из них – это множество натуральных чисел, которое на письме обозначается 
.
Если 
, значит, 
– натуральное число. Таким образом, числа вида 
, т. е. числа для счета, – это натуральные числа.
2. Целые числа
Далее было придумано число 
, а также введены отрицательные числа (т. е. числа 
). Рассмотрим числа 
– это множество целых чисел, которое обозначается 
. Мы видим, что натуральные числа входят во множество целых чисел.
3. Рациональные числа
Далее появились дроби, например 
;
. В общем виде дробные числа обозначают 
, где , а 
, причём 
. Множество таких чисел назвали множеством рациональных чисел и обозначили буквой 
. После открытия множества рациональных чисел думали, что существует взаимооднозначное соответствие между точками координатной прямой и множеством всех этих чисел. Для начала необходимо вспомнить, что такое координатная прямая. Это такая прямая, на которой выполнены следующие условия:
— есть направление
— выбрано начало отсчета
— есть масштаб
Рис. 1. График
То есть, думали, что если есть число 
, его можно отложить на координатной прямой, то эта точка А будет характеризовать это число; и наоборот, если у нас есть точка В, то мы измерим расстояние до неё от начала отсчёта 
, и оно окажется равным 2, т. е. оно тоже является рациональным числом. Таким образом мы с вами предположили, что между множеством рациональных чисел и множеством точек плоскости существует взаимоднозначное соответствие. Однако затем в Древней Греции построили треугольник с катетами 1 и 1, а по теореме Пифагора мы можем найти гипотенузу, которая равна 
.
Затем были построены предположения о том, является ли число рациональным: если – рациональное число, то наверное существует такая дробь, где 
, однако оказалось, что это не так. Давайте теперь вспомним это доказательство. Итак мы хотим доказать, что не рациональное число, т. е. для него не существует дроби 
, чтобы она была в точности равна длине гипотенузы 
. Гипотенуза существует, т. е. ее можно отложить на координатной прямой, однако числа такого нет. Вот это нам и нужно доказать.
4. Иррациональные числа
Доказательство
Для доказательства воспользуемся методом «от противного».
Предположим, пусть – рациональное число, т. е. найдется такая несократимая дробь 
, что она в точности равна . Но если бы она была сократимая, то мы бы могли её сократить.
Теперь предположим, что она существует и она не сократима , что 
, вот подобрали такую дробь.
По методу «от противного» нам необходимо получить противоречие, и если мы получим это противоречие, значит, исходная предпосылка была неверна, и не является рациональным числом. А значит, назвали иррациональным, и все остальные числа, которые не являются рациональными, назвали иррациональными.
Итак, нам предстоит получить противоречие из нашего предположения, что – рациональное число, т. е. дробь существует. Если это правда, то 
. Слева и справа числа не отрицательные, поэтому их можно возвести в квадрат 
Левая часть делится на 2 , а значит и правая часть уравнения делится на 2. 
, а если 
, значит и один из сомножителей делится на 2. Получается, что и 
. У нас есть 
, где , получается, что 
. Если , то тогда и 
, а значит 
, т. е. 
. Если и , то получается, что – сократимая дробь, а это противоречит поставленному условию, значит, – не рациональное число, а иррациональное.
Таким образом мы выяснили, что помимо рациональных чисел существуют также иррациональные числа, т. е. такие, которые не являются рациональными и не могут быть записаны в виде дроби , где , а , причём .
Важно помнить, что если к рациональному числу мы прибавим иррациональное, то полученное число будет также иррациональным, например, число 
– это иррациональное число.
Если 
, то 
, если r – рациональное число, то их разность также будет рациональным числом, однако мы видим, что это не так, поскольку – число иррациональное.
5. Действительные числа
Также существует ещё одно множество чисел, которое называется множеством действительных чисел и обозначается 
. Это множество состоит из суммы множеств рациональных и иррациональных чисел. 
. И только теперь мы установили взаимооднозначное соответствие между точками координатной прямой и множеством действительных чисел, т. е. теперь каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой, и наоборот – каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число.
Итак, мы выяснили, что же такое множество действительных чисел и из чего оно состоит (из множеств рациональных и иррациональных чисел).
6. Решение типовых задач
Множество рациональных чисел – это множество дробей вида , где , а , причём . Любая обыкновенная дробь может быть представлена в виде десятичной дроби, и наоборот.
Например
(а)
Давайте теперь посмотрим, чем будет отличаться дробь 
. Эту дробь также можно представить в виде десятичной дроби, однако мы получим одну особенность: мы получим десятичную бесконечную, но периодическую дробь: 
(цифра «(3)» в скобках означает, что она будет повторяться в периоде, т. е. до бесконечности). (б)
Таким образом мы видим, что каждую обычную правильную дробь мы можем представить в виде десятичной дроби (либо обычной дроби (вариант (а)), либо в виде бесконечной, но периодичной дроби (вариант (б))).
Мы можем вывести закономерность, что конечная десятичная дробь у нас получается в случае, если в знаменателе обычной дроби у нас стоит число, которое делится на 2 или на 5.
Например:
0,05
Если же в знаменателе будет стоять число, которое при разложении на множители будет иметь любое другое простое число (не 2 и не 5), то такая простая дробь при переходе в десятичную будет становиться бесконечной периодичной.
Мы видим, что перевод дроби из обычной в десятичную не сложен, однако иногда нам необходимо сделать обратную задачу, рассмотрим такой пример.
Задача
Дано: 
Задача: перевести данную десятичную периодическую дробь в вид обычной дроби.
Поскольку в условии нам дали бесконечную периодическую десятичную дробь, то по определению, мы можем её представить в виде обычной дроби.
Мы имеем бесконечный «хвост» у исходной дроби, для того чтобы упростить себе задачу переведения исходной десятичной дроби в обычную, давайте домножим её на 100.
(а)
(б)
Теперь вычтем из уравнения (б) уравнение (а)
Ответ: 
Вывод
На данном уроке мы с вами вспомнили, какие множества чисел существуют, а также дали их определения. Научились преобразовывать обычные дроби в десятичные, и наоборот.
