В математике помимо рациональных чисел встречаются иррациональные. Чаще всего это выражения вида корень из √3, корень из √17, корень из √23 и т.д.

Введем определение.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число b, квадрат которого равен a.

Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом, то есть то, что стоит под корнем, обязательно положительное число.

Найдем корень из √16. Для этого смотрим на определение. Нужно найти такое неотрицательное число, квадрат которого равен 16. Это число 4, так как 4 умножить на 4 равно 16. Попробуем найти корень из минус 16. Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим. 4 умножить на 4 равно 16. Не сходится.

Если минус 4, то минус 4 умножить на минус 4 равно 16. Минус на минус всегда дает плюс. Исходя из примера выше, получаем, что числа, стоящие под знаком корня, должны быть не отрицательными. Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.

Но запомните, что при решении квадратного уравнения типа a2 = b, где b больше 0, будет 2 корня. Например, в примере x2 = 16 решениями будут x = 4 и x = -4.

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните, x2 = 16 ≠ x = √16. Это два нетождественных друг другу выражения.

x2 = 16 – это квадратное уравнение.

x = 4, x = -4.

 x = √16 – арифметический квадратный корень.

Из выражения x = √16 следует, что x = 4.

Рассмотрим примеры.

Найдите x.

x = √121 x = √25 x = √81 x = √-5
x =11 x =5 x =9 x = решения нет

Следуем строго согласно определению квадратного корня, такое неотрицательное число b, квадрат которого равен a.

Тогда вспомним, что 11 умножить на 11 равно 121, 5 умножить на 5 равно 25, 9 умножить на 9 равно 81. А корень из отрицательного числа мы не можем взять.

Записываем ответы.

Рассмотрим примеры.

Решите уравнение.

У нас квадратное уравнение.

x2 = 121 x2 = 25 x2 = 81 x2 = -5
x1 = 11

x2 = -11

 x1 = 5

x2 = -5

 x1 = 9

x2 = -9

 Нет решения

Имеем два корня – положительный и отрицательный. Положительный считали в прошлом примере. Отрицательный в примерах такого вида – это положительный со знаком минус.

Домашнее задание

√25 √64 √81 √121
√0,36 √0,04 √0,64 √0,16