Введение

Почему Луна не падает? На самом деле она падает, ведь на нее действует сила тяжести и создает ускорение (рис. 1). Но вот только земной поверхности Луна никогда не достигает. Как же так? К тому же можно запустить абсолютно любое другое тело так, чтобы оно двигалось по окружности вокруг нашей планеты. Давайте разберемся, как это сделать.

Рис. 1. Движение Луны вокруг Земли

 

Искусственные и естественные спутники

Луна является спутником Земли (рис. 2). Её называют естественным спутником, ведь она появилась в процессе эволюции вселенной. А спутники, созданные и запущенные людьми, называют, соответственно, искусственными спутниками (рис. 3). Причем термин “спутник” тоже выбран не случайно – ведь эти тела всегда сопровождают Землю. Причем они не падают на неё и не улетают.

Рис. 2. Луна – естественный спутник Земли Рис. 3. Движение искусственного спутника Земли

Другие планеты солнечной системы тоже имеют естественные спутники, и не обязательно один. например, у Юпитера 67 спутников (рис. 4). Сами планеты можно также считать “спутниками” Солнца, ведь они сопровождают его при движении в космическом пространстве (рис. 5).

Рис. 4. Некоторые спутники Юпитера Рис. 5. Солнечная система

Искусственные спутники запускают не только вокруг Земли. Для исследования поверхностей Луны, Марса, Венеры вокруг них также вращаются космические аппараты. Солнце тоже имеет искусственные спутники. Но в большинстве своем – это следствие неудачных запусков, а не конечная цель.

 

Движения тел в плоской и шарообразной модели Земли

Любое тело, обладающее массой, притягивается Землей. Если мы отпустим камень, то он упадёт вертикально вниз, под действием земного притяжения (рис. 6). Если бросим камень горизонтально, то он пролетит по кривой траектории. Причем если измерить скорость в момент броска и в конце полёта – то окажется, что они будут разными, т. е. сила тяжести создает ускорение (рис. 7).

Рис. 6. Траектория движения камня под действием земного притяжения без начальной скорости Рис. 7. Траектория движения камня, брошенного горизонтально относительно Земли, под действием земного притяжения

Если бросать с большей скоростью, то камень упадёт дальше от места броска (рис. 8). Если считать Землю плоской, то эту модель движения можно применять на любых расстояниях (рис. 9). Когда мы бросаем мяч, камень, или стреляем из оружия, то всё это происходит на расстояниях в несколько километров, и Землю можно считать плоской, и описывать движение, например, пули, так же, как мы описали движение камня.

Рис. 8. Траектория движения камня, брошенного с большой скоростью относительно Земли, под действием земного притяжения Рис. 9. Траектория движения тела в модели плоской Земли

Но можно сообщить телу такую скорость, чтобы оно улетел так далеко, что уже будет заметна кривизна поверхности Земли (рис. 10). Тогда уже, конечно же, нельзя применить модель плоской Земли, нужно будет учитывать, что она круглая.

Рис. 10. На больших расстояниях учитывается кривизна поверхности Земли

Тело движется под действием силы тяжести, скорость тела изменяет направление, траектория искривляется в направлении Земли. Причем пока это произойдет, тело может оказаться там, где поверхность Земли точно так же «закруглится», и тело будет снова двигаться параллельно поверхности – это нам и нужно. То есть тело притягивается к Земле, но сама Земля постоянно «уходит» из-под тела (рис. 11).

Рис. 11. Движение тела параллельно поверхности земли под действием силы тяжести

Мы рассмотрели движение тела на малом отрезке. На малом отрезке модуль скорости не изменился, скорость направлена параллельно земной поверхности (рис. 12), и высота тела над поверхностью тоже не изменилась. Значит и дальше тело будет двигаться по окружности с постоянной по модулю скоростью. А равномерное движение по окружности – это движение с центростремительным ускорением (рис. 13). Как раз его и создает сила тяжести.

Рис. 12. Направление скорости движения тела Рис. 13. Равномерное движение по окружности

Как так получается, что скорость тела в модели «плоской» Земли увеличивается, а в модели шарообразной Земли – постоянна? Ответ вы можете узнать в ответвлении.

 

Почему модуль скорости не меняется?

В обычной жизни мы привыкли, что если тело падает, то его скорость возрастает. Если есть горизонтальная составляющая скорости, она не изменяется, а вертикальная возрастает (рис. 14). Но что не так, если спутник движется по окружности (рис. 15), почему его скорость не изменятся?

Рис. 14. Горизонтальная и вертикальная составляющие скорости Рис. 15. Движение спутника вокруг Земли

Дело в том, что скорость спутника настолько велика (рис. 15), что за малое время он преодолевает достаточно большое расстояние, на котором уже нельзя пренебречь кривизной Земли. А сила тяжести всегда направлена к центру Земли. По мере движения спутника появляется составляющая силы тяжести, направленная против  (рис. 16), и соответственно уменьшавшая её. Получается, что одна составляющая скорости увеличивается, другая уменьшается, и нет ничего неудивительно в том, что модуль скорости остается неизменным.

Рис. 16. Составляющие скорости движения спутника вокруг Земли

А можно ли применить к спутнику модель плоской Земли, которую мы применяли для брошенного горизонтально камня? Можно, только спутник летит с огромной скоростью, и он должен успеть пройти расстояние, на котором можно было пренебречь кривизной Земли. Значит, нам нужно взять очень малый промежуток времени. А за это время тело приобретет очень маленькую вертикальную составляющую скорости (рис. 17), такую, что ей можно пренебречь по сравнению с начальной скоростью. Значит можно считать, что спутник летит с постоянной скоростью.

Рис. 17. Вертикальная составляющая скорости на малом промежутке времени

 

Сохранение энергии спутника

Может показаться странным, что спутник постоянно движется, не останавливаясь, и при этом ему не сообщается энергия. Выглядит, как вечный двигатель. В чём дело? И почему сила тяжести не совершает работу? А дело в том, что спутник и не теряет энергию, поэтому и возобновлять ее не нужно. Он летит с постоянной по модулю скоростью (значит кинетическая энергия не изменяется) и на постоянной высоте, значит потенциальная энергия неизменна (рис. 18). Получается, что таким образом спутник может двигаться сколько угодно, если не будет потерь энергии, например, на трение о воздух.

Рис. 18. Энергия спутника

 

Сохранение энергии спутника

Спутник движется с постоянной по модулю скоростью, значит его кинетическая энергия не меняется. Не будет меняться и потенциальная энергия спутника, потому что он движется по круговой орбите на одинаковом расстоянии от Земли (рис. 18). Но всё равно сложно понять, как это происходит, ведь спутник движется, на него действует сила, значит энергия должна меняться.

Начнем с того, что сила тяжести в любой момент времени перпендикулярна скорости, а значит, работа силы тяжести равна нулю (рис. 19). А если работа не совершается, значит и энергия не изменяется.

Рис. 19. Сила тяжести, действующая на спутник

А теперь взглянем на спутник сбоку (рис. 20). Нам не будет видно движения по окружности, мы увидим колебания спутника подобно пружинному маятнику. Нас не удивляет, что полная энергия маятника сохраняется: кинетическая переходит в потенциальную и обратно. Так же движется и спутник, если рассматривать сбоку, в проекции.

Рис. 20. Движение спутника в проекции на ось х

Сначала спутник переместился из среднего положения в крайнее (рис. 21). Сила тяжести всё это время была направлена противоположно перемещению, работа силы тяжести отрицательна, и она равна изменению кинетической энергии – кинетическая энергия равна нулю, спутник остановился. Дальше спутник движется в обратную сторону (рис. 22) – работа силы тяжести положительна, кинетическая энергия стала такой, как в начале наблюдения. Если сложить работу силы тяжести, получим ноль, но скорость поменяла направление на противоположное.

Рис. 21. Крайнее левое положение спутника в проекции на ось х Рис. 22. Среднее положение спутника (движение обратно) в проекции на ось х

Возьмем произвольный момент времени (рис. 23): спутник обладает небольшой кинетической энергией. Посмотрим на него в другой проекции, перпендикулярной первой. С этой стороны мы тоже увидим «маятник», и его скорость будет близка к максимальной. А суммарная кинетическая энергия будет в любой момент будет оставаться неизменной. То же справедливо и для потенциальной энергии.

Рис. 23. Положение спутника, обладающего небольшой кинетической энергией, в проекции на ось х

 

Скорость движения спутника по орбите Земли

Многие раскручивали что-нибудь на веревке, какую-нибудь игрушку (рис. 24), или катались на цепочной карусели (рис. 25). Сила натяжения веревки или цепи удерживает игрушку или кресло карусели на круговой траектории (рис. 26). И понятное дело, если веревка оборвется, то игрушка улетит. То же самое и со спутниками, здесь нет практически никакой разницы. Сила тяжести удерживает спутник на круговой траектории, она играет роль веревки, которая держит спутник на орбите (рис. 27). А скорость, которую придали спутнику, не дает упасть ему на поверхность нашей планеты. И он тоже улетел бы по касательной (рис. 28), если каким-то образом «отключить» гравитацию.

Рис. 24. Траектория раскрученного тела на веревке Рис. 25. Цепочная карусель

 

Рис. 26. Вектор силы натяжения цепи и веревки

 

Рис. 27. Траектория движения спутника по орбите Земли Рис. 28. Спутник улетел бы по касательной к орбите в отсутствие силы тяжести

Итак, спутник нужно запустить с такой скоростью, чтобы он улетел настолько далеко, что сила тяжести в той точке будет возвращать его обратно на орбиту. Конечно, это не значит, что спутник будет двигаться скачками, удаляться от Земли и возвращаться (рис. 29). Сила действует постоянно, и орбита будет искривляться плавно (рис. 30). Такую скорость можно найти точно.

Рис. 29. Спутник отлетает от Земли и возвращается силой тяжести.                На самом деле траектория его движения плавная Рис. 30. Плавное движение спутника по орбите

Найдем скорость движения спутника.

  1. Мы рассматриваем движение спутника в системе отсчета, связанной с Землей. Это инерциальная система, поэтому применим второй закон Ньютона:  .
  2. На высотах, на которых вращаются спутники, атмосфера разреженная или вообще отсутствует. Поэтому силой сопротивления воздуха можно пренебречь. Тогда на спутник действует только сила всемирного тяготения, которая вычисляется по формуле: .
  3. При движении по окружности центростремительное ускорение равняется: , его и сообщает сила тяготения по второму закону Ньютона.

Выражаем скорость из всех этих уравнений и получаем:

Рис. 31. Движение спутника на высоте  над поверхностью Земли

 

Вывод формулы для скорости

Записав законы, которым подчиняется спутник, мы получили систему из трех уравнений:

Из второго и третьего уравнений подставим силу  и ускорение  в первое, получается:

Сокращая на массу спутника деленную на радиус орбиты , получаем:

И в итоге получается, что:

 

Радиус орбиты спутников , т.е. расстояние до центра Земли, состоит из радиуса Земли  и их высоты над поверхностью Земли :  (рис. 31).

Получается, что скорость вращения спутника по круговой орбите на высоте  равняется:

Зная скорость движения спутника по орбите, можно вычислить период, частоту и угловую скорость его вращения, воспользовавшись формулами кинематики.

Особую роль в обеспечении связи играют так называемые геостационарные спутники (рис. 32) – спутники, период вращения которых равен периоду вращения Земли вокруг оси, а орбита лежит в плоскости экватора. Такие спутники неподвижны относительно поверхности Земли.

Рис. 32. Геостационарный спутник на орбите Земли

 

Геостационарные спутники

Спутники, которые вращающиеся на геостационарной орбите (рис. 33), как бы “зависают” над одной точкой Земли. Относительно нашей планеты их координаты не меняются, поэтому очень удобно направить на них антенну и обеспечить стабильную связь. На данный момент на геостационарной орбите находится более 200 спутников, распределенных по меридианам.

Рис. 33. Спутники на геостационарной орбите Земли

Высота геостационарной орбиты практически в 5 раз больше радиуса Земли. Из-за этого сигнал может быть недостаточно сильный или с задержкой. Чтобы этого избежать, используют спутники на более низких орбитах (рис. 34). Правда, там они движутся быстрее вращения Земли, поэтому они заменяют друг друга над различными точками поверхности для обеспечения стабильной связи.

Рис. 34. Спутники на низкой околоземной орбите

 

Первая космическая скорость

Мы рассмотрели самый простой случай, когда спутник находится на высоте  и движется со скоростью . Причем скорость будет перпендикулярна направлению силы тяжести (рис. 35). Только в таком случае спутник будет двигаться по окружности. В общем же случае тело будет двигаться по эллипсу, параболе,  гиперболе (рис. 36). В таком случае можно тоже рассчитать скорость, однако потребуются более глубокие знания математики.

Рис. 35. Движения спутника по окружности Рис. 36. Движения спутника по различным траекториям

Для каждого конкретного спутника можно взять его высоту над поверхностью Земли и рассчитать скорость движения. А можно просто оценить скорость движения спутников вокруг Земли. Для этого существует специальная величина – первая космическая скорость.

Первая космическая скорость – наименьшая скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно стало искусственным спутником.

Из определения, рассматривается спутник у поверхности Земли, то есть высота  (рис. 37), получается, что первая космическая скорость равняется:

Учитывая, что ускорение свободного падения  равняется: , формулу можно переписать:

Рис. 37. Спутник у поверхности Земли ()

Первая космическая скорость может быть вычислена не только для Земли, а для любого небесного тела. Например, первая космическая скорость для Метиды (рис. 38), спутника Юпитера, равна всего 12 м/с. Если бы у вас была возможность там побывать, то просто бросив мячик, вы бы сделали его искусственным спутником Метиды (рис. 39).

Рис. 38. Спутник Метида Рис. 39. На Метиде искусственный спутник можно запустить рукой

 

Как именно запустить спутник

Процесс запуска спутника – задача непростая. Мы смогли рассчитать, с какой скоростью он должен двигаться на определенной высоте. Но как его туда доставить? Краткую информацию о том, как это сделать, вы можете прочитать в этой статье.

Чтобы облегчить запуск спутника, можно использовать линейную скорость вращения Земли (рис. 40). Угловая скорость  вращения Земли везде одинакова (рис. 40), а линейная скорость  равняется: . На экваторе расстояние от оси вращения  наибольшее, значит и скорость наибольшая. Именно поэтому космодромы стараются строить ближе к экватору (рис. 41).

Рис. 40. Иллюстрация линейной и угловой скорости Земли

Рис. 41. Космодромы мира

 

Вторая космическая скорость

С движением спутников на орбите Земли мы разобрались. А с какой скоростью нужно запустить космический аппарат для исследования, например, Солнечной системы? Тут перед нами стоит уже другая задача: не оставить тело вблизи Земли, а отдалить его на большое расстояние. Причем так, чтобы он не вернулся.

Решим эту задачу с помощью закона сохранения энергии. На поверхности Земли потенциальную энергию в поле силы тяжести будем считать равную нулю . Тогда полная механическая энергия тела равна кинетической энергии запуска: .

Построим график зависимости потенциальной энергии тела от высоты над поверхностью Земли  (рис. 42). Вблизи поверхности он будет иметь вид прямой, потому что потенциальная энергия рассчитывается так:. Получается, чтобы достигнуть высоты , тело должно обладать соответствующей энергией. Дальше тело не отлетит – ему не хватит энергии.

Рис. 42. График зависимости 

Но этот график будет прямой только вблизи поверхности Земли, там где можно считать силу постоянной и рассчитать по формуле: . В общем же случае сила притяжения зависит от расстояния до Земли и рассчитывается, как . В таком случае график будет выглядеть согласно рисунку 43, и почему он так выглядит, об этом мы сможем узнать в 11 классе, изучив тему “Определенный интеграл”.

Рис. 43. График зависимости 

Если телу придать энергию  или выше, то оно сможет удалиться от Земли на сколь угодно большое расстояние, то есть преодолеть гравитацию Земли.

Скорость, соответствующая кинетической энергии , называется второй космической скоростью. Она в корень из двух раз больше первой космической скорости и для Земли равняется приблизительно :

Как и первая космическая скорость, вторая космическая скорость может быть определена для любого небесного тела.

Вторая космическая скорость (рис. 44) – этонаименьшая скорость, которую необходимо придать объекту, чтобы он преодолел гравитационное притяжение Земли или другого небесного тела.

Рис. 44. Вектор второй космической скорости объекта 

 

Вычисление второй космической скорости

Изменение потенциальной энергии в поле силы тяжести связано с работой этой силы: . Если тело удалилось на бесконечно большое расстояние от поверхности Земли (рис. 45), то изменение потенциально энергии равно . Работу рассчитать сложнее, ведь по мере удаления от Земли сила изменяется, она равна:

Но мы можем разбить весь путь на очень много маленьких участочков длиной , на которых будем считать силу постоянной. Тогда на каждом участке работа  будет равна . Знак минус появляется из-за того, что сила направлена противоположно перемещению.

Как вычислять подобные бесконечные суммы вы еще не знаете. Это можно сделать с помощью понятия интеграла, который проходится в 11 классе. Сейчас мы воспользуемся готовым решением и получим:

С другой стороны,  – это минимальная кинетическая энергия, которую нужно придать телу при запуске . Отсюда получаем выражение для скорости:

Рис. 45. Отдаление объекта от поверхности Земли

 

Выводы

Помимо первой и второй космической скорости, иногда также говорят о третьей и четвертой.

Третья космическая скорость – минимальная скорость, которую нужно придать телу вблизи поверхности Земли, чтобы оно преодолело притяжение Солнца и покинуло пределы Солнечной системы.

Четвертая космическая скорость – скорость, необходимая, чтобы преодолеть притяжение галактики и покинуть её. Но пока только несколько спутников покинуло пределы Солнечной системы, а пределы нашей галактики Млечный путь – и вовсе ни одного. Поэтому подробно об этих скоростях говорить не будем.

Нажмите здесь