I. Введение
A. Определение числового неравенства
1. Числовое неравенство представляет собой выражение, содержащее знаки неравенства (<, >, ≤, ≥).
2. Примеры числовых неравенств: 2x + 3 > 7, x² – 4 < 0, |x – 5| ≥ 3.

II. Решение числовых неравенств
A. Основные принципы:
1. При переносе слагаемого на другую сторону знак неравенства изменяется на противоположный.
2. При умножении или делении на положительное число знак неравенства сохраняется.
3. При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный.
B. Примеры:
1. Решим неравенство 2x + 3 > 7.
a. Вычтем 3 из обеих частей: 2x > 4.
b. Разделим на 2: x > 2.
c. Ответ: x принадлежит интервалу (2, +∞).
2. Решим неравенство x² – 4 < 0.
a. Факторизуем: (x – 2)(x + 2) < 0.
b. Рассмотрим значения x: x < -2 или x > 2.
c. Ответ: x принадлежит интервалу (-∞, -2) объединенному с (2, +∞).
3. Решим неравенство |x – 5| ≥ 3.
a. Разберем два случая, когда выражение в модуле положительно или отрицательно:
i. x – 5 ≥ 3 → x ≥ 8.
ii. -(x – 5) ≥ 3 → x ≤ 2.
b. Ответ: x принадлежит объединению интервалов (-∞, 2] объединенного с [8, +∞).

III. Свойства числовых неравенств
A. Транзитивность: Если a < b и b < c, то a < c.
B. Симметричность: Если a < b, то b > a.
C. Добавление и вычитание: Если a < b, то a +/- c < b +/- c.
D. Умножение и деление на положительное число: Если a < b и c > 0, то ac < bc и a/c < b/c.
E. Умножение и деление на отрицательное число: Если a < b и c < 0, то ac > bc и a/c > b/c.

IV. Применение числовых неравенств
A. Задачи на интервалы:
1. Найдите значения x, для которых 2x – 3 < 5.
a. Вычтем 3 из обеих частей: 2x < 8.
b. Разделим на 2: x < 4.
c. Ответ: x принадлежит интервалу (-∞, 4).
2. Найдите значения x, для которых |x + 2| ≥ 7.
a. Разберем два случая, когда выражение в модуле положительно или отрицательно:
i. x + 2 ≥ 7 → x ≥ 5.
ii. -(x + 2) ≥ 7 → x ≤ -9.
b. Ответ: x принадлежит объединению интервалов (-∞, -9] объединенного с [5, +∞).

V. Заключение
A. Свойства числовых неравенств позволяют решать и применять неравенства на числовой прямой.
B. Основные принципы решения числовых неравенств помогают найти интервалы, на которых выполнено неравенство.
C. Практика и дополнительные примеры помогут закрепить материал и научиться эффективно работать с числовыми неравенствами.