С понятием квадратного корня из числа а вы уже знакомы: это такое число, квадрат которого равен а.
,
,
,
Аналогично определяется корень -й степени из числа а, где– произвольное натуральное число.
А теперь давайте решим такое уравнение:
Итак, это уравнение мы можем переписать в таком виде: . Или .
Тогда наше уравнение равносильно совокупности уравнений: .
Понятно, что уравнение не имеет решения на множестве действительных чисел. Значит, остаётся решить уравнение
Итак, наше уравнение имеет два действительных корня 5 и –5. Их называют корнями четвёртой степени из числа 625. В свою очередь, положительный корень (число 5) называют арифметическим корнем четвёртой степени из числа 625. Обозначают его так: . Таким образом, .
Запомните! Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, -я степень которого равна а.
Арифметический корень —ой степени из числа а обозначают так: . Символ называют знаком арифметического квадратного корня или радикалом (от латинского слова «радикс» – корень), число называется показателем корня, а число а, стоящее под знаком корня, – подкоренным выражением.
Вам хорошо известен такой частный случай арифметического корня -й степени, как корень второй степени, или квадратный корень из числа, то есть когда
В этом случае показатель корня не пишут, а пишут просто.
Ещё одним частным случаем является мы привыкли называть его корнем кубическим.
Как правило, когда ясно, что речь идёт об арифметическом корне -й степени, слово «арифметический» не произносят, а говорят кратко: «корень энной степени».
Действие, посредством которого отыскивается корень -й степени, называется извлечением корня -й степени. Это действие является обратным действию возведения в -й степень.
Равенство при верно, когда выполняются два условия:; второе —.
Например,.
Число;
.
Видим, что оба условия выполняются. Значит верно.
Из определения арифметического корня следует, что если, то.
Например,
А теперь давайте решим следующие уравнения: и . Итак, первое уравнение
Перепишем это уравнение в виде: .
Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов. Имеем:
Перейдём к уравнению 2:
Перепишем это уравнение в виде: .
Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов. Имеем:.
Так как , то число –4 является корнем из числа –64. Однако это число не является арифметическим корнем по определению. Число называют корнем кубическим из числа и обозначают так:
Вообще, для любого нечётного натурального числа, уравнение, при имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень обозначается, как и арифметический корень, символом.
И называют его корнем нечётной степени из отрицательного числа.
Запомните! При нечётном существует, и притом только один. Для корней нечётной степени справедливо равенство
Например,
Корень нечётной степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа следующим равенством:
Например,
Арифметический корень -й степени обладает несколькими свойствами. Перечислим их. Итак, при условии, что, , а, и – натуральные числа, причём, , справедливы равенства:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
Обратите внимание, что в первом свойстве число может также быть равным ; в третьем свойстве число может быть любым целым, если .
Докажем справедливость этих свойств. Итак, первое свойство.
1. .
По определению арифметического корня – это такое неотрицательное число, -я степень которого равна произведению .
;
.
2. .
;
3. .
;
.
4. .
;
.
5. .
;
.
А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.
Задание 1. Найдите значения выражений а) ; б) ; в) .
Решение.
а) ; б) ; в) .
; ;
; ;
Задание 2. Преобразуйте выражения: а) ; б) ; в) ; г) .
Решение.
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Пройдите тест
Ответ записываем в виде числа, без пробелов, букв и т.д.
Тест можно пройти всего 1 раз!