База знаний

Системы счисления

Система счисления – это совокупность правил для обозначения и наименования чисел.

Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Система счисления называется позиционной, если значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Основанием системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Наименование системы счисления соответствует ее основанию (например, десятичной называется система счисления так потому, что ее основание равно 10, т.е. используется десять цифр).

Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее 2. Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.).

Десятичная система характеризуется тем, что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.

В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q, иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи чисел в q-ичной системе счисления требуется q различных цифр (0,1,…,q-1).

В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:

А_q= ± (a_n-1q^n-1+a_n-2q^n-2+…+a₀q⁰+a_-1q^-1+a_-2q^-2+…+a_-mq^-m)

Здесь А — само число,

q — основание системы счисления,

a_i —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления, n — число целых разрядов числа,

m — число дробных разрядов числа.

Свернутой формой записи числа называется запись в виде A=a_n-1a_n-2…a₁a₀,a_-1…a_-m

Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

Пример 1. Десятичное число А₁₀=4718,63 в развернутой форме запишется так: А₁₀=4·10³+7·10²+1·10¹+8·10⁰+6·10^-1+3·10^-2

Пример 2. Двоичная система счисления.

В двоичной системе счисления основание q=2. В этом случае формула (2.4) принимает вид: А₂= ± (a_n-12^n-1+a_n-22^n-2+…+a₀2⁰+a_-12^-1+a_-22^-2+…+a_-m2^-m)

Здесь а_i — возможные цифры (0, 1).

Итак, двоичное число представляет собой цепочку из нулей и единиц. При этом оно имеет достаточно большое число разрядов. Быстрый рост числа разрядов — самый существенный недостаток двоичной системы счисления.

Записав двоичное число А₂=1001,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:

А₂=1·2³+0·2²+0·2¹+1·2⁰+1·2^-1 = 8+1+0,5 = 9,5₁₀.

Пример 3. Восьмеричная система счисления.

Основание: q=8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Записав восьмеричное число А₈=7764,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления: А₈=7·8³+7·8²+6·8¹+4·8⁰+1·8^-1 = 3584 + 448 + 48 + 4 + 0,125 =

4084,125₁₀

Пример 4. Шестнадцатеричная система счисления.

Основание: q=16. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,1, …9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись 3АF₁₆ означает: 3АF₁₆ = 3·16²+10·16¹+15·16⁰ = 768+160+15 = 943₁₀.

Пример 5. Запишем начало натурального ряда чисел в десятичной и двоичной системах счисления:

Для перевода натуральных чисел из десятичной системы счисления в двоичную можно использовать общий алгоритм (деление на 2 и выписывание остатков в обратном порядке).
Например, переведём в двоичную систему число 19:

Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему проще всего использовать общий алгоритм для позиционных систем (деление на 8, выписывание остатков в обратном порядке). Например, переведём в восьмеричную систему число 100:

Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему используют алгоритм деление на 16 и взятие остатков. Важно не забыть, что все остатки, большие 9, нужно заменить на буквы:

Например, переведём в шестнадцатеричную систему число 444:

Решение

• Делим исходное число на основание искомого числа и записываем остаток до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю.
• Полученные остатки записываем в обратном порядке.

Деление	Целое частное	Остаток
444 ÷ 16	27	12 → C
27 ÷ 16	1	11 → B
1 ÷ 16	0	1

444₁₀ = 1BC₁₆

Решение задач по ссылкам

Измерение информации. Алфавитный подход. Содержательный подход

Решение задач на определение количества информации

Дискретное представление текстовой, графической, звуковой медицинской информации и видеоинформации.

Кодирование текстовой и звуковой информации.

 

Работа с таблицами

Разбор задания

 

Какая формула будет получена при копировании в ячейку С3, формулы из ячейки С2?

Решение:

Анализ исходной формулы

Исходная формула в ячейке C2 выглядит следующим образом: =$A$1*A2+B2

Разберём её компоненты:

• $A$1 — Абсолютная ссылка на ячейку A1 (не изменится при копировании)
• A2 — Относительная ссылка на ячейку A2 (будет меняться при копировании)
• B2 — Относительная ссылка на ячейку B2 (будет меняться при копировании)

Правила копирования формул в Excel

При копировании формулы в Excel действуют следующие правила:

• Абсолютные ссылки ($A$1) остаются неизменными независимо от направления копирования
• Относительные ссылки (A2, B2) изменяются в зависимости от направления копирования:
  • Горизонтальное копирование меняет букву столбца
  • Вертикальное копирование меняет номер строки

Определение результата копирования

Поскольку мы копируем формулу из ячейки C2 в ячейку C3, направление копирования вертикальное (вниз на одну строку).

Применяя правила копирования:

1. Абсолютная ссылка $A$1 остаётся неизменной → $A$1
2. Относительная ссылка A2 смещается на 1 строку вниз → A3
3. Относительная ссылка B2 смещается на 1 строку вниз → B3

Итоговая формула в ячейке C3

Итоговая формула в ячейке C3 после копирования: =$A$1*A3+B3

Проверка расчётов

Проверим правильность полученной формулы, подставив значения из таблицы:

• Значение в $A$1 = 30
• Значение в A3 = 23
• Значение в B3 = 5

Подставляем в формулу: =$A$1A3+B3 = 3023+5 = 690+5 = 695

Это соответствует значению в ячейке C3, которое равно 695.

 Разбор задания

 

Чему будет равно значение ячейки С1, если в нее ввести формулу =А1+B1:

• Ячейка A1 = 20
• Ячейка B1 = A1/2 (20/2 = 10)
• Тогда ячейка B2 = А1+B1 (20 + 10 = 30)

Разбор задания

Какая Формула будет получена при копировании в E4 формулы из Е2?

Решение:

• A2 — Относительная ссылка на ячейку A2 (будет меняться при копировании)
• C2 — Относительная ссылка на ячейку B2 (будет меняться при копировании)

Тогда A2 поменяется на A4, C2 поменяется на C4, E4 будет содержать формулу: =A4*C4

Разбор задания

Чему будет равно значение ячейки А8, если в нее ввести формулу =СУММ(A1:A7)/2?

Решение:

=СУММ(A1:A7)/2 — сумма числе в диапазоне (A1:A7) деленная на 2

280/2 = 140

Разбор задания

На диаграмме показаны объемы выпуска продукции трех видов (А, Б и В) за каждый месяц первого квартала:

Какая из диаграмм правильно отражает соотношение объемов выпуска этих видов продукции за весь квартал?

 

Решение:

Посчитаем по первой диаграмме значение продукции трех видов (А, Б и В)

А = 200

Б = 400

В = 400

Правильным ответом будет круговая под номером 3