Логическая функция – это функция, у которой значения переменных и значение функции выражают логическую истинность. Они могут принимать значения «истина» или «ложь» (1 или 0). Для функции, содержащей две переменные, наборов значений переменных всего четыре. Значения логических функций определяются с помощью таблица истинности.
| Название логической операции | Логическая связка |
| Инверсия | «не»; «неверно, что» |
| Конъюнкция | «и»; «а»; «но»; «хотя» |
| Дизъюнкция | «или» |
Конъюнкция (логическое умножение) – сложное логическое выражение, которое является истинным только в том случае, когда истинны оба входящих в него простых выражения.
Обозначение &, ∧, ⋅
Дизъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно практически всегда, за исключением, когда все выражения ложны.
Обозначение: +, ∨
Импликация — это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть, данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (A), а второе (A) является следствием условия (A).
Обозначения: →, ⇒.
Эквивалентность — это сложное логическое выражение, которое истинно на равных значениях переменных A и B.
Обозначения: ↔, ⇔, ≡.
Отрицание(инверсия) — означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО и в итоге получаем, что если исходное выражение истинно, то отрицание исходного – будет ложно и наоборот, если исходное выражение ложно, то его отрицание будет истинно.
Обозначения: не A, A¯, ¬A.
Штрих Шеффера Булева функция двух переменных или бинарная логическая операция.
Обозначения: |, эквивалентно операции И-НЕ.
Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:
- Инверсия(отрицание);
- Конъюнкция (логическое умножение);
- Дизъюнкция и строгая дизъюнкция (логическое сложение);
- Импликация (следствие);
- Эквивалентность (тождество).
Построим таблицу истинности A∨A&B. В нём две переменные, две операции, причём сначала выполняется конъюнкция, а затем дизъюнкция. Всего в таблице будет четыре столбца:
Наборы входных переменных — это целые числа от 0 до 3, представленные в двухразрядном двоичном коде: 00,01,10,11. Заполненная таблица истинности имеет вид:
| A | B | A&B | A∨A&B |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Построить таблицу истинности и решить выражение F=(A∨B)∧(¬A∨¬B).
В помощь приведённый ниже алгоритм.
Число переменных в выражении n = 2.
Общее количество логических операций в выражении — 5.
Последовательность выполнения логических операций — 1, 5, 3, 4, 2.
Количество столбцов — 7. Логические переменные (А и В) + логические операции ∨, ∧, ¬, ∨ , ¬.
Количество строк — 5, исходя из m =2^n, таким образом 2*2 = 4, 4+1 (строка заголовков столбцов) = 5
Заполнить таблицу.
| A | B | ¬A | ¬B | A∨B | ¬A∨¬B | (A∨B)∧(¬A∨¬B) |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Анализируя итоговую таблицу истинности, мы видим, что формула принимает значение 1 (истина) только тогда, когда одна из переменных равна , а другая равна 1. Это соответствует ситуации, когда ровно одно из двух условий выполняется, то есть когда и имеют разные значения.
Таким образом, выражение эквивалентно условию «либо , либо B, но не оба одновременно»:
Где ⊕обозначает исключающее ИЛИ (XOR).
